7年级下册期末试卷数学

这是一份为你精心准备的7年级下册数学期末模拟试卷覆盖了人教版（或其他主流版本）7年级下册的核心知识点，包括相交线与平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式与不等式组等。

试卷结构参考了常见的中考模式,分为选择题、填空题、计算题、解答题，并提供了详细的答案解析，方便你复习和自我检测。

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七年级下册数学期末模拟试卷

考试时间： 90分钟 满分： 100分

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选择题（每题3分，共30分）

1. 下列计算正确的是 A. $\sqrt{4} = \pm 2$ B. $\sqrt{(-3)^2} = -3$ C. $\sqrt{9} \times \sqrt{4} = \sqrt{36} = 6$ D. $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$

2. 在平面直角坐标系中,点P(-3, 2)关于x轴对称的点的坐标是 A. (3, 2) B. (-3, -2) C. (2, -3) D. (-2, 3)

3. 下列各组数中,是二元一次方程 $2x - y = 3$ 的解的是 A. $\begin{cases} x=1 \ y=1 \end{cases}$ B. $\begin{cases} x=2 \ y=1 \end{cases}$ C. $\begin{cases} x=0 \ y=-3 \end{cases}$ D. $\begin{cases} x=-1 \ y=-1 \end{cases}$

   
   （图片来源网络，侵删）

4. 不等式组 $\begin{cases} x > 1 \ x-2 < 4 \end{cases}$ 的解集在数轴上表示正确的是 A. [=======) (从1开始向右) B. =====[===) (从-2开始向右) C. [=======) (从-2开始向右) D. =====[===) (从1开始向右)

5. 如图,直线 $l_1 \parallel l_2$，$\angle 1 = 50^\circ$，则 $\angle 2$ 的度数为 A. $40^\circ$ B. $50^\circ$ C. $130^\circ$ D. $140^\circ$ (注：此题为图形题，请想象一个“Z”字形，$\angle 1$和$\angle 2$是内错角)

6. 在实数 $-\frac{22}{7}$, $\pi$, $0$, $\sqrt{4}$, $\sqrt{5}$ 中，无理数的个数是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

7. 已知 $\begin{cases} x=2 \ y=1 \end{cases}$ 是方程组 $\begin{cases} ax + by = 7 \ bx + ay = 5 \end{cases}$ 的解，则 $a+b$ 的值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

   
   （图片来源网络，侵删）

8. 某校七年级学生共400人,其中参加合唱团的有180人，参加运动队的有250人，既参加合唱团又参加运动队的有80人，那么既不参加合唱团又不参加运动队的学生有 A. 50人 B. 60人 C. 70人 D. 80人

9. 把不等式 $-2x \le 4$ 的解集表示在数轴上，正确的是 A. <======| (在-2处，包含-2，向左) B. |======> (在-2处，包含-2，向右) C. <======| (在2处，包含2，向左) D. |======> (在-2处，不包含-2，向右)

10. 一个长方形的周长是24cm,设长为 $x$ cm，宽为 $y$ cm，则下列关系式正确的是 A. $x + y = 24$ B. $2(x + y) = 24$ C. $x - y = 24$ D. $xy = 24$

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填空题（每题3分，共15分）

11. 点A(-2, 5)到y轴的距离是 ____。

12. 计算：$\sqrt{12} - \sqrt{3} = \underline{\quad\quad}$。

13. 已知 $x < y$，用“>”或“<”填空：$-3x \underline{\quad\quad} -3y$。

14. 写出一个解为 $\begin{cases} x=2 \ y=1 \end{cases}$ 的二元一次方程：$\underline{\quad\quad}$。（答案不唯一）

15. 如图,将一副三角板拼在一起，若 $\angle ABD = 20^\circ$，则 $\angle DCE$ 的度数为 ____。 (注：此题为图形题，想象一个含30°和45°的直角三角板拼在一起，$\angle ABD$是其中一个角，$\angle DCE$是另一个角)

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计算题（每题5分，共15分）

16. 计算：$\sqrt{18} + (\pi - 3.14)^0 - \sqrt{\frac{1}{2}} + (-\frac{1}{2})^{-2}$

17. 解方程组：$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \ 3x - y = 5 \end{cases}$

18. 解不等式组：$\begin{cases} 2x - 1 \ge x + 1 \ \frac{1}{2}x - 1 < 3 \end{cases}$，并把解集在数轴上表示出来。

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解答题（共40分）

19. (6分) 在平面直角坐标系中，已知点A(3, 2)，B(1, -1)。 (1) 请在右图中画出坐标系，并描出点A、B； (2) 求 $\triangle AOB$ 的面积（O为坐标原点）。

20. (8分) 某公园的门票价格如下： | 票种 | 成人票 | 学生票 | | :--- | :--- | :--- | | 价格（元/张） | 30 | 15 |

一个旅行团有成人、学生共50人，他们准备购买门票，经了解，如果全部以成人票购买，需要花费1350元；如果全部以学生票购买，需要花费750元，请问这个旅行团中成人和学生各有多少人？

21. (8分) 如图，已知 $AB \parallel CD$，$\angle 1 = \angle 2$，求证： $AD \parallel BC$。 (注：此题为证明题，请想象两条平行线AB和CD被一条直线EF所截，交点分别为G、H，点A、D在EF的一侧，点B、C在另一侧，$\angle 1$是∠AGD，$\angle 2$是∠BHD) 证明过程： $\because AB \parallel CD$ (已知) $\therefore \angle AGD = \angle BHD$ ( \underline{\quad\quad} ) $\because \angle 1 = \angle 2$ (已知) $\therefore \angle AGD - \angle 2 = \angle BHD - \angle 1$ $\therefore \angle ADG = \angle \underline{\quad\quad}$ $\therefore AD \parallel BC$ ( \underline{\quad\quad} )

22. (9分) 某商店将进价为40元的商品按50元出售时，每天能卖出500件，市场调查发现，如果每件商品涨价1元，那么每天就要少卖出10件。 (1) 设每件商品涨价 $x$ 元，那么每天的销售量是 ____ 件；销售利润是 ____ 元。（用含 $x$ 的代数式表示） (2) 为了尽快回笼资金，商店决定将销售利润控制在9000元至12000元之间（包含端点），那么每件商品定价应在什么范围内？

23. (9分) 在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$ 的顶点坐标分别为 $A(-1, 2)$, $B(3, 1)$, $C(1, -2)$。 (1) 在右图中画出 $\triangle ABC$； (2) 画出 $\triangle ABC$ 关于y轴对称的 $\triangle A'B'C'$，并写出点 $A'$, $B'$, $C'$ 的坐标； (3) 求 $\triangle ABC$ 的面积。

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参考答案与解析

选择题

1. C (解析：A中算术平方根是非负的；B中$\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$；D中不是同类二次根式不能直接相加。)
2. B (解析：关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数。)
3. C (解析：将选项代入方程检验，只有C满足 $2(0) - (-3) = 3$。)
4. A (解析：解第一个不等式得 $x > 1$，解第二个得 $x < 6$，所以解集是 $1 < x < 6$。)
5. B (解析：两直线平行，内错角相等。)
6. B (解析：$-\frac{22}{7}$和$\sqrt{5}$是无理数，$\pi$是无理数，共3个，哦，我数错了，$\sqrt{4}=2$是有理数，所以是$-\frac{22}{7}$, $\pi$, $\sqrt{5}$，共3个，哦，题目说“下列...中”，我再看一遍：$-\frac{22}{7}$ (无理), $\pi$ (无理), $0$ (有理), $\sqrt{4}=2$ (有理), $\sqrt{5}$ (无理)，所以无理数有3个，我最初选B错了，应该是C。) 更正： 无理数有 $-\frac{22}{7}$, $\pi$, $\sqrt{5}$，共3个，所以选 C。
7. B (解析：将解代入方程组，得 $\begin{cases} 2a + b = 7 \ 2b + a = 5 \end{cases}$，两式相加得 $3a+3b=12$，$a+b=4$，再相减得 $a-b=2$，解得 $a=3, b=1$。$a+b=4$，我最初算错了。) 更正： $2a+b=7$ (1), $a+2b=5$ (2)。 (1) - (2) 得 $a-b=2$ (3)。 (1) + (2) 得 $3a+3b=12$，即 $a+b=4$，所以选 D，我最初选B错了，应该是D。
8. A (解析：使用容斥原理，总人数 = 参加合唱团人数 + 参加运动队人数 - 两者都参加人数 + 两者都不参加人数。 $400 = 180 + 250 - 80 + x$，解得 $x=50$。)
9. B (解析：两边同时除以-2，不等号方向改变，得 $x \ge -2$。)
10. B (解析：长方形周长公式为 $2 \times (长 + 宽)$。)

填空题

11. 2 (解析：点P(x, y)到y轴的距离是 $|x|$。)
12. $\sqrt{3}$ (解析：$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，$2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$。)
13. > (解析：两边同时乘以-3，不等号方向改变。)
14. $x+y=3$ (答案不唯一，如 $2x-y=3$, $x-y=1$ 等)
15. $65^\circ$ (解析：$\angle DCE = \angle BDC + \angle DBC$ (三角形外角定理)。$\angle BDC = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$。$\angle DBC = 90^\circ - \angle ABD = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$。$\angle DCE = 60^\circ + 70^\circ = 130^\circ$，我最初想错了。) 更正： $\angle DCE = \angle BDC + \angle DBC$。$\angle BDC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$。$\angle DBC = 180^\circ - 90^\circ - \angle ABD = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$。$\angle DCE = 60^\circ + 70^\circ = 130^\circ$，我最初想错了，应该是130°。 再思考： 题目是“拼在一起”，可能不是外角，假设是标准的“Z”字形拼接。$\angle ABD=20^\circ$，$\angle DBC = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$。$\angle DCE$ 是 $\triangle DBC$ 的一个外角，等于 $\angle BDC + \angle DBC$。$\angle BDC$ 是另一个三角板的角，是 $45^\circ$。$\angle DCE = 45^\circ + 70^\circ = 115^\circ$，这取决于图形，我们换一种思路：$\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 20^\circ + 60^\circ = 80^\circ$ (\angle DBC$是60°)。$\angle DCE$ 和 $\angle ABC$ 是同位角，相等，所以是80°，这个题确实有歧义，我们按最常见的模型：$\angle DCE = \angle ABC$。$\angle ABC = 90^\circ - \angle ABD = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$，所以是70°。 最终确定： 最常见的模型是 $\angle DCE$ 和 $\angle ABC$ 是内错角或同位角，我们假设 $\angle ABC = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$，$\angle DCE = \angle ABC = 70^\circ$，所以答案是 70°。

计算题

16. 解： 原式 $= 3\sqrt{2} + 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} + 4$ $= (3\sqrt{2} - \frac{1}{2}\sqrt{2}) + (1 + 4)$ $= \frac{5}{2}\sqrt{2} + 5$

17. 解： $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \quad (1) \ 3x - y = 5 \quad (2) \end{cases}$ 由(2)得，$y = 3x - 5$ (3) 将(3)代入(1)得： $2x + 3(3x - 5) = 7$ $2x + 9x - 15 = 7$ $11x = 22$ $x = 2$ 将 $x=2$ 代入(3)得： $y = 3(2) - 5 = 1$ 方程组的解是 $\begin{cases} x=2 \ y=1 \end{cases}$

18. 解： $\begin{cases} 2x - 1 \ge x + 1 \quad (1) \ \frac{1}{2}x - 1 < 3 \quad (2) \end{cases}$ 解(1)得：$x \ge 2$ 解(2)得：$\frac{1}{2}x < 4$，$x < 8$ 不等式组的解集是 $2 \le x < 8$ 在数轴上表示为： [=======) (在2处，实心圆点，到8处，空心圆点，向右连接)

解答题

19. 解： (1) 略 (根据坐标描点) (2) 过点A作x轴的垂线，垂足为D(3, 0)。 $S{\triangle AOB} = S{\text{梯形 } ADOB} - S{\triangle AOD} - S{\triangle BOD}$ $S{\text{梯形 } ADOB} = \frac{(AD+BO)}{2} \times OD = \frac{(2+1)}{2} \times 3 = \frac{9}{2}$ $S{\triangle AOD} = \frac{1}{2} \times AD \times OD = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 3$ $S{\triangle BOD} = \frac{1}{2} \times BO \times OD = \frac{1}{2} \times 1 \times 3 = \frac{3}{2}$ $S{\triangle AOB} = \frac{9}{2} - 3 - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} - \frac{6}{2} - \frac{3}{2} = 0$ (这不可能，说明我的辅助线选得不好) 重新计算： 使用“割补法”。 $S{\triangle AOB} = S{\text{矩形 } AECF} - S{\triangle AOE} - S{\triangle BOF} - S{\triangle ACF}$ (这个方法也复杂) 使用坐标公式法： $S{\triangle AOB} = \frac{1}{2} |x_A y_B - x_B y_A| = \frac{1}{2} |3 \times (-1) - 1 \times 2| = \frac{1}{2} |-3 - 2| = \frac{1}{2} \times 5 = \frac{5}{2}$ 答： $\triangle AOB$ 的面积为 $\frac{5}{2}$。

20. 解： 设旅行团中有成人 $x$ 人，学生 $y$ 人。 根据题意，得： $\begin{cases} x + y = 50 \quad (1) \ 30x = 1350 \quad (2) \end{cases}$ 由(2)得，$x = 45$ 将 $x=45$ 代入(1)得： $45 + y = 50$ $y = 5$ 答： 这个旅行团中有成人45人，学生5人。

21. 证明： $\because AB \parallel CD$ (已知) $\therefore \angle AGD = \angle BHD$ (两直线平行，内错角相等) $\because \angle 1 = \angle 2$ (已知) $\therefore \angle AGD - \angle 2 = \angle BHD - \angle 1$ $\therefore \angle ADG = \angle BCH$ $\therefore AD \parallel BC$ (内错角相等，两直线平行)

22. 解： (1) 每天的销售量是 $(500 - 10x)$ 件；销售利润是 $(50+x-40)(500-10x)$ 元，即 $(10+x)(500-10x)$ 元。 (2) 根据题意，得： $9000 \le (10+x)(500-10x) \le 12000$ $9000 \le -10x^2 + 400x + 5000 \le 12000$ 解不等式 $-10x^2 + 400x + 5000 \ge 9000$： $-10x^2 + 400x - 4000 \ge 0$ $x^2 - 40x + 400 \le 0$ $(x-20)^2 \le 0$ 解得 $x=20$ 解不等式 $-10x^2 + 400x + 5000 \le 12000$： $-10x^2 + 400x - 7000 \le 0$ $x^2 - 40x + 700 \ge 0$ $\Delta = (-40)^2 - 4 \times 1 \times 700 = 1600 - 2800 = -1200 < 0$ 因为二次项系数为正，所以此不等式恒成立。 $x$ 的取值范围是 $x=20$。 当 $x=20$ 时，定价为 $50+20=70$ 元。 答： 为了将销售利润控制在9000元至12000元之间，每件商品应定价70元。

23. 解： (1) 略 (根据坐标画图) (2) $\triangle A'B'C'$ 的顶点坐标为： $A'(1, 2)$, $B'(-3, 1)$, $C'(-1, -2)$ (3) 使用“割补法”计算面积。 作矩形 $PQRS$，使得 $P(-3, 2)$, $Q(1, 2)$, $R(1, -2)$, $S(-3, -2)$。 $S{\text{矩形 } PQRS} = PQ \times PS = (1 - (-3)) \times (2 - (-2)) = 4 \times 4 = 16$ $S{\triangle APQ} = \frac{1}{2} \times PQ \times (y_P - yA) = \frac{1}{2} \times 4 \times (2-2) = 0$ $S{\triangle BQR} = \frac{1}{2} \times QR \times (y_Q - yB) = \frac{1}{2} \times 4 \times (2-1) = 2$ $S{\triangle CRS} = \frac{1}{2} \times RS \times (y_R - yC) = \frac{1}{2} \times 4 \times (-2-(-2)) = 0$ $S{\triangle APS} = \frac{1}{2} \times PS \times (x_A - xP) = \frac{1}{2} \times 4 \times (-1-(-3)) = 4$ $S{\triangle ABC} = S{\text{矩形 } PQRS} - S{\triangle BQR} - S_{\triangle APS} = 16 - 2 - 4 = 10$ 答： $\triangle ABC$ 的面积为10。

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同学，这份试卷你感觉怎么样？

• 如果觉得简单： 恭喜你！说明你掌握得很扎实，可以挑战一下压轴题（第22、23题）的多种解法，或者思考一下如何将知识点应用到更复杂的生活场景中。
• 如果觉得有难度： 不要灰心！这是正常的，请对照答案解析，找出自己的薄弱环节，是哪个知识点没掌握清楚？是计算粗心，还是思路卡壳？针对性地去复习课本和笔记，把错题弄懂，你的数学成绩一定会稳步提升！

祝你期末考试取得好成绩！