人教版九年级数学测试卷怎么用才有效？

这份试卷涵盖了九年级上学期（第21-26章）的核心知识点，包括一元二次方程、二次函数、旋转、圆、概率初步等，题型全面，难度适中，既注重基础知识的考查，也包含一定的综合应用题，非常适合用于单元测试、期中复习或自我检测。

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人教版九年级数学上册期中综合测试卷

考试时间： 120分钟 满分： 120分

注意事项：

1. 本卷共分为两部分，第一部分为选择题,第二部分为非选择题。
2. 答题前，请将你的姓名、班级、考号填写在答题卡上。
3. 答案请填写在答题卡对应的区域内,写在试卷上无效。

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第一部分 选择题（共30分）

选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 方程 $(x-1)^2 = 4$ 的根是 A. $x_1 = 3, x_2 = -1$ B. $x_1 = 1, x_2 = 3$ C. $x_1 = 1, x_2 = -3$ D. $x_1 = -3, x_2 = -1$

2. 下列函数中，是二次函数的是 A. $y = 2x - 1$ B. $y = \frac{1}{x^2}$ C. $y = x^2 - 2x + 1$ D. $y = (x-1)^2$

   
   （图片来源网络，侵删）

3. 二次函数 $y = 2(x-1)^2 + 3$ 的顶点坐标是 A. $(1, 3)$ B. $(-1, 3)$ C. $(1, -3)$ D. $(-1, -3)$

4. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，将 $\triangle ABC$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 得到 $\triangle AB'C'$，若点 $C$ 的对应点 $C'$ 恰好落在边 $AB$ 上，则 $\angle BAC$ 的度数为 A. $30^\circ$ B. $45^\circ$ C. $60^\circ$ D. $75^\circ$ (注：此题需要配图，此处为文字描述)

5. 已知 $\odot O$ 的半径为 $5$，点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为 $6$，则点 $P$ 与 $\odot O$ 的位置关系是 A. 点 $P$ 在 $\odot O$ 上 B. 点 $P$ 在 $\odot O$ 内 C. 点 $P$ 在 $\odot O$ 外 D. 无法确定

6. 已知 $\odot O_1$ 和 $\odot O_2$ 的半径分别为 $3$ 和 $5$，若 $O_1O_2 = 2$，则这两圆的位置关系是 A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切

   
   （图片来源网络，侵删）

7. 在一个不透明的盒子中装有 $5$ 个除颜色外完全相同的小球，$3$ 个红球，$2$ 个白球，随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是 A. $\frac{9}{25}$ B. $\frac{6}{25}$ C. $\frac{3}{10}$ D. $\frac{1}{5}$

8. 用配方法解一元二次方程 $x^2 - 4x + 1 = 0$，配方正确的是 A. $(x-2)^2 = 3$ B. $(x-2)^2 = 5$ C. $(x+2)^2 = 3$ D. $(x+2)^2 = 5$

9. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 为 $\odot O$ 上一点，若 $\angle BOC = 100^\circ$，则 $\angle A$ 的度数为 A. $40^\circ$ B. $50^\circ$ C. $80^\circ$ D. $100^\circ$ (注：此题需要配图，此处为文字描述)

10. 二次函数 $y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$ 的图象如图所示，下列结论： ① $a < 0$； ② $b > 0$； ③ $c > 0$； ④ $b^2 - 4ac > 0$。 其中正确的结论个数是 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (注：此题需要配图，此处为文字描述)

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第二部分 非选择题（共90分）

填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 方程 $x(2x-1) = 0$ 的解是 __。

12. 二次函数 $y = x^2 - 6x + 8$ 的对称轴是直线 __。

13. 一个扇形的圆心角为 $120^\circ$，半径为 $6$，则这个扇形的面积为 __。（结果保留 $\pi$）

14. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $CD \perp AB$，垂足为 $E$，若 $AB = 10$，$CD = 8$，则 $AE$ 的长为 __。 (注：此题需要配图，此处为文字描述)

15. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^2 - 2x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是 __。

16. 将抛物线 $y = 2x^2$ 向左平移 $3$ 个单位长度，再向下平移 $1$ 个单位长度，所得抛物线的解析式为 __。

解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (本小题满分8分) 解方程：$(x-3)^2 - 2x(x-3) = 0$。

18. (本小题满分8分) 已知二次函数 $y = -x^2 + 2x + 3$。 (1) 求该函数图象的顶点坐标和与坐标轴的交点坐标。 (2) 画出这个函数的大致图象。

19. (本小题满分10分) 某商场销售一种服装，每件成本价为 $80$ 元，经市场调查发现，每天的销售量 $p$ (件) 与销售单价 $x$ (元) 满足一次函数关系 $p = 200 - 2x$，设该商场每天销售这种服装的利润为 $W$ 元。 (1) 求 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式。 (2) 当销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

20. (本小题满分10分) 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC = 90^\circ$，$AB = AC$，点 $D$ 为 $BC$ 的中点，将 $\triangle ABD$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $180^\circ$ 得到 $\triangle ECD$。 (1) 求证：四边形 $ABCE$ 是平行四边形。 (2) 若 $BC = 6$，求四边形 $ABCE$ 的面积。 (注：此题需要配图，此处为文字描述)

21. (本小题满分10分) 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 为 $\odot O$ 上一点，$CD \perp AB$ 于点 $D$，弦 $AE$ 交 $CD$ 于点 $F$，连接 $CE$。 (1) 求证：$\triangle ACD \sim \triangle AEC$。 (2) 若 $AB = 10$，$CD = 6$，求 $CE$ 的长。 (注：此题需要配图，此处为文字描述)

22. (本小题满分13分) 在一个不透明的口袋中装有 $4$ 个小球，分别标有数字 $1, 2, 3, 4$，这些小球除数字外完全相同。 (1) 从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后不放回，再随机摸出一个小球，请用列表法或画树状图法，求两次摸出的小球上的数字之和等于 $5$ 的概率。 (2) 从口袋中随机摸出一个小球，记下数字后放回，再随机摸出一个小球，求两次摸出的小球上的数字之和大于 $4$ 的概率。

23. (本小题满分13分) 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 经过点 $A(-1, 0)$，$B(3, 0)$，$C(0, 3)$。 (1) 求抛物线的解析式。 (2) 点 $P$ 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 $P$，使 $\triangle PAB$ 的周长最小？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由。 (3) 若点 $M$ 是抛物线上的一个动点，在 $x$ 轴上是否存在点 $Q$，使以 $A, B, M, Q$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由。 (注：此题需要配图，此处为文字描述)

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参考答案及评分标准

第一部分 选择题

1. A
2. C
3. A
4. B
5. C
6. D
7. A
8. B
9. B
10. C

第二部分 非选择题

填空题 11. $x_1 = 0, x_2 = \frac{1}{2}$ (或写成 $x=0$ 或 $x=\frac{1}{2}$) 12. $x = 3$ 13. $12\pi$ 14. $2$ 或 $8$ 15. $k < 1$ 且 $k \neq 0$ 16. $y = 2(x+3)^2 - 1$

解答题

17. 解：$(x-3)^2 - 2x(x-3) = 0$ $(x-3)[(x-3) - 2x] = 0$ $(x-3)(-x-3) = 0$ $x-3 = 0$ 或 $-x-3 = 0$ ... 解得：$x_1 = 3, x_2 = -3$。 (评分：每步2分，共8分)

18. 解：(1) $y = -x^2 + 2x + 3 = -(x^2 - 2x) + 3 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3 = -(x-1)^2 + 4$。 ∴ 顶点坐标为 $(1, 4)$。 令 $y = 0$，则 $-x^2 + 2x + 3 = 0$，解得 $x_1 = -1, x_2 = 3$。 ∴ 与 $x$ 轴交点为 $(-1, 0)$ 和 $(3, 0)$。 令 $x = 0$，则 $y = 3$。 ∴ 与 $y$ 轴交点为 $(0, 3)$。 (评分：顶点坐标3分，交点坐标3分，共6分) (2) 图象略 (要求：顶点、与坐标轴交点位置正确，开口方向正确)。 (评分：2分)

19. 解：(1) $W = (x - 80)(200 - 2x)$ $= -2x^2 + 200x + 160x - 16000$ $= -2x^2 + 360x - 16000$。 (评分：5分) (2) $W = -2x^2 + 360x - 16000 = -2(x^2 - 180x) - 16000$ $= -2(x^2 - 180x + 8100 - 8100) - 16000$ $= -2(x-90)^2 + 16200 - 16000$ $= -2(x-90)^2 + 200$。 ∵ $a = -2 < 0$，∴ 当 $x = 90$ 时，$W$ 有最大值。 最大利润为 $W = 200$ 元。 (评分：配方正确2分，得出顶点坐标1分，答对结论和值2分，共5分)

20. 证明与解：(1) ∵ $\triangle ABD$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $180^\circ$ 得到 $\triangle ECD$， ∴ $AD = ED$，$BD = CD$。 ∴ 四边形 $ABCE$ 的对角线 $AE$ 和 $BC$ 互相平分。 ∴ 四边形 $ABCE$ 是平行四边形。 (评分：5分) (2) ∵ $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形，$BC = 6$，$D$ 为中点， ∴ $AD = BD = CD = 3$。 由旋转可知，$\triangle ABD \cong \triangle ECD$。 ∴ $S{\triangle ECD} = S{\triangle ABD} = \frac{1}{2}S{\triangle ABC}$。 $S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times \frac{BC}{2} \times \frac{BC}{2} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = \frac{9}{2}$。 $S{\text{四边形 } ABCE} = S{\triangle ABC} + S{\triangle ECD} = S{\triangle ABC} + S{\triangle ABD} = 2S{\triangle ABC} = 2 \times \frac{9}{2} = 9$。 (评分：5分)

21. 证明与解：(1) ∵ $AB$ 是直径，$CD \perp AB$， ∴ $\widehat{AC} = \widehat{BC}$。 ∴ $\angle CAD = \angle BAC$。 又 $\angle ACD = \angle AEC = 90^\circ$， ∴ $\triangle ACD \sim \triangle AEC$。 (评分：5分) (2) 由(1)知 $\triangle ACD \sim \triangle AEC$， $\therefore \frac{AC}{AE} = \frac{AD}{AC}$，即 $AC^2 = AD \cdot AE$。 连接 $BC$，则 $\angle ACB = 90^\circ$。 在 Rt $\triangle ACD$ 中，$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{5^2 - 6^2}$ (错误！此处应为 $AC$ 先求) 正确解法：在 Rt $\triangle ACD$ 中，$AC^2 = AD^2 + CD^2$。 设 $AD = x$，则 $BD = 5 - x$。 由垂径定理，$DE = \frac{1}{2}CD = 3$。 在 Rt $\triangle CDE$ 中，$CE^2 = CD^2 + DE^2 = 6^2 + 3^2 = 45$。 由相交弦定理，$AD \cdot BD = CD \cdot DE$，即 $x(5-x) = 6 \times 3$。 解得 $x=2$ 或 $x=3$。 当 $AD=2$ 时，$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = 2\sqrt{10}$。 由 $\triangle ACD \sim \triangle AEC$，$\frac{AC}{AE} = \frac{CD}{CE}$， $\frac{2\sqrt{10}}{AE} = \frac{6}{\sqrt{45}} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$， 解得 $AE = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$。 再由 $AC^2 = AD \cdot AE$，$(2\sqrt{10})^2 = 2 \cdot AE$，$40 = 2AE$，$AE=20$。 (矛盾，说明方法选择有误) 更简单方法：由 $\triangle ACD \sim \triangle AEC$，$\frac{AC}{AE} = \frac{AD}{AC}$。 $\frac{CE}{CD} = \frac{AE}{AC}$。 $\frac{CE}{6} = \frac{AE}{2\sqrt{10}}$。 又 $AE = AD + DE = 2 + 3 = 5$。 $\frac{CE}{6} = \frac{5}{2\sqrt{10}}$，$CE = \frac{30}{2\sqrt{10}} = \frac{15}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$。 (评分：相似证明2分，利用垂径定理和勾股定理求出AD=2, DE=3, CE=3√5 (3分)，利用相似比求出CE (5分)，共10分)

22. 解：(1) 画树状图： (此处应画树状图) 可能结果有 $(1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3)$ 共12种。 其中和为5的有 $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$ 共4种。 $\therefore P(\text{和为5}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$。 (评分：树状图正确3分，列举正确2分，结果正确3分，共8分) (2) 画树状图： (此处应画树状图) 可能结果有 $4 \times 4 = 16$ 种。 其中和大于4的有 $(1,4), (2,3), (2,4), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)$ 共10种。 $\therefore P(\text{和大于4}) = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$。 (评分：树状图正确2分，列举正确2分，结果正确3分，共7分)

23. 解：(1) 将 $A(-1, 0), B(3, 0), C(0, 3)$ 代入 $y = ax^2 + bx + c$， $\begin{cases} a(-1)^2 + b(-1) + c = 0 \ a(3)^2 + b(3) + c = 0 \ a(0)^2 + b(0) + c = 3 \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} a = -1 \ b = 2 \ c = 3 \end{cases}$。 ∴ 抛物线解析式为 $y = -x^2 + 2x + 3$。 (评分：列出方程组2分，解对3分，共5分) (2) 存在。 点 $A$ 关于对称轴 $x=1$ 的对称点是 $B(3,0)$。 连接 $AB$，与对称轴的交点即为点 $P$。 $\triangle PAB$ 的周长最小。 点 $P$ 的坐标为 $(1, 0)$。 (评分：正确说明对称点2分，得出结论1分，写出坐标2分，共5分) (3) 存在。 情况一：以 $AB$ 为对角线，$M$ 与 $Q$ $AB$ 的中点 $(1,0)$ 对称。 设 $M(x_m, y_m)$，则 $Q(2-x_m, -y_m)$。 $\because M$ 在抛物线上，$y_m = -x_m^2 + 2x_m + 3$。 当 $x_m = 0$ 时，$M(0,3)$，$Q(2,-3)$。 当 $x_m = 2$ 时，$M(2,3)$，$Q(0,-3)$。 情况二：以 $AM$ 为对角线，$B$ 与 $Q$ $AM$ 的中点对称。 情况三：以 $BM$ 为对角线，$A$ 与 $Q$ $BM$ 的中点对称。 经计算，只有上述两种情况成立。 ∴ 符合条件的点 $Q$ 坐标为 $(2, -3)$ 或 $(0, -3)$。 (评分：能想到一种情况并正确求解得5分，全部正确得8分，共8分)