九年级上册数学期中试题难吗？

九年级数学上册期中模拟试题

(考试时间：120分钟 满分：120分)

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选择题（每小题3分，共30分）

1. 方程 $(x-1)(x+2) = 0$ 的根是 A. $x_1=1, x_2=2$ B. $x_1=1, x_2=-2$ C. $x_1=-1, x_2=2$ D. $x_1=-1, x_2=-2$

   
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2. 下列函数中,是二次函数的是 A. $y = 3x-1$ B. $y = \frac{1}{x}$ C. $y = -2x^2$ D. $y = (x-1)^2 + x^2$

3. 用配方法解一元二次方程 $x^2 - 4x + 1 = 0$ 时，配方正确的是 A. $(x-2)^2 = 3$ B. $(x-2)^2 = 5$ C. $(x+2)^2 = 3$ D. $(x+2)^2 = 5$

4. 二次函数 $y = 2(x-1)^2 + 3$ 的顶点坐标是 A. $(1, 3)$ B. $(-1, 3)$ C. $(1, -3)$ D. $(-1, -3)$

5. 已知 $\odot O$ 的半径为 $5$，点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离为 $4$，则点 $P$ 与 $\odot O$ 的位置关系是 A. 点 $P$ 在 $\odot O$ 上 B. 点 $P$ 在 $\odot O$ 内 C. 点 $P$ 在 $\odot O$ 外 D. 无法确定

   
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6. 已知一元二次方程 $x^2 - 3x - k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是 A. $k > -\frac{9}{4}$ B. $k < -\frac{9}{4}$ C. $k > \frac{9}{4}$ D. $k < \frac{9}{4}$

7. 抛物线 $y = x^2 - 2$ 可以由抛物线 $y = x^2$ 怎样平移得到？ A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位

8. 在半径为 $6$ 的圆中，$60^{\circ}$ 的圆心角所对的弧长为 A. $\pi$ B. $2\pi$ C. $3\pi$ D. $6\pi$

9. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是 (此处应有图，图象开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴有两个交点) A. $a > 0, b^2 - 4ac > 0$ B. $a < 0, b^2 - 4ac > 0$ C. $a > 0, b^2 - 4ac < 0$ D. $a < 0, b^2 - 4ac < 0$

   
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10. 如图,$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 为 $\odot O$ 上一点，若 $\angle AOC = 100^{\circ}$，则 $\angle B$ 的度数是 (此处应有图，AB为直径，C在圆上) A. $20^{\circ}$ B. $40^{\circ}$ C. $50^{\circ}$ D. $80^{\circ}$

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填空题（每小题3分，共24分）

11. 方程 $2x^2 = 8$ 的解是 __.

12. 二次函数 $y = (x-2)^2$ 的最小值为 __.

13. 若 $x=1$ 是一元二次方程 $x^2 + mx - 2 = 0$ 的一个根，则 $m$ 的值为 __.

14. 已知 $\odot O_1$ 和 $\odot O_2}$ 的半径分别为 $3$ 和 $5$，若 $O_1O_2 = 3$，则两圆的位置关系是 __.

15. 将二次函数 $y = -x^2$ 的图象向左平移 $1$ 个单位，再向下平移 $2$ 个单位，得到的新函数解析式是 __.

16. 已知一扇形的圆心角为 $120^{\circ}$，弧长为 $4\pi$，则该扇形的半径为 __.

17. $x$ 的一元二次方程 $x^2 + 4x + k = 0$ 的一个根是 $-2$，则另一个根是 __.

18. 如图,$PA$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$，割线 $PBC$ 经过圆心 $O$，若 $PA = 4$，$PB = 2$，则 $\odot O$ 的半径为 __. (此处应有图，P在圆外，PA为切线，PBC为过圆心的割线)

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解答题（共66分）

(本题8分) 解下列方程： (1) $(2x-1)^2 - 9 = 0$ (2) $x^2 - 4x + 1 = 0$ (用配方法)

(本题8分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2x + k = 0$. (1) 若该方程有两个相等的实数根，求 $k$ 的值； (2) 若该方程有两个不相等的实数根，求 $k$ 的取值范围。

(本题8分) 已知二次函数的图象经过点 $A(-1, 0)$、$B(3, 0)$ 和 $C(0, 3)$. (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 求该函数图象的顶点坐标和对称轴。

(本题10分) 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $CD \perp AB$ 于点 $M$，若 $AB = 10$，$CD = 8$，求 $OM$ 的长度。 (此处应有图，AB为直径，CD为弦，垂直于AB于M)

(本题10分) 某商店购进一批单价为 $20$ 元的商品，如果以单价 $30$ 元出售，那么每天可售出 $100$ 件，经过市场调查发现，这种商品每涨价 $1$ 元，其销售量就减少 $5$ 件，为了实现每天 $2000$ 元的销售利润，售价应定为多少元？

(本题12分) 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC = 10$，$BC = 12$，以 $BC$ 的中点 $O$ 为圆心作 $\odot O$ 与 $AB$ 相切于点 $D$. (1) 求证：$\odot O$ 与 $AC$ 相切； (2) 求 $\odot O$ 的半径。 (此处应有图，等腰三角形ABC，AB=AC，BC中点为O，O为圆心作圆与AB切于D)

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参考答案与解析

选择题

1. B (解方程得 $x-1=0$ 或 $x+2=0$)
2. C (形如 $y=ax^2+bx+c$ 且 $a\neq 0$，A是一次，B是反比例，D展开后也是二次，但通常指标准形式)
3. B ($x^2 - 4x + 4 - 4 + 1 = 0$ => $(x-2)^2 = 3$)
4. A (顶点式 $y=a(x-h)^2+k$ 的顶点是 $(h,k)$)
5. B ($d=4 < r=5$，点在圆内)
6. C (判别式 $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(-k) = 9 + 4k > 0$，解得 $k > -\frac{9}{4}$，但原题应为 $x^2-3x+k=0$，$\Delta=9-4k>0$, $k<9/4$，这里按题目 $x^2-3x-k=0$ 计算，$\Delta=9+4k>0$, $k>-9/4$。更正： 原题选项有误，若按 $x^2-3x-k=0$，应为 $k>-9/4$，无对应选项，按常见题型，应为 $x^2-3x+k=0$，则选 D，此处按 D 解答，并指出题目可能存在笔误。)
   • 修正后正确理解： 题目 $x^2-3x-k=0$，$\Delta > 0 \implies 9+4k>0 \implies k>-9/4$，选项A正确。
   • 再次确认： 考虑到常见考法，我将题目修正为 $x^2-3x+k=0$，$\Delta>0 \implies 9-4k>0 \implies k<9/4$，选 D，请根据实际教学情况判断。
7. D ($y=x^2$ 向下平移2个单位得到 $y=x^2-2$)
8. B (弧长 $l = \frac{n\pi r}{180} = \frac{60 \pi \cdot 6}{180} = 2\pi$)
9. B (图象开口向下，故 $a<0$；与x轴有两个交点，故 $b^2-4ac>0$)
10. C (连接 $OC$，$\triangle AOC$ 为等腰三角形，$\angle A = \angle B$。$\angle AOC = 100^{\circ}$，$\angle A + \angle C = 80^{\circ}$，又 $\angle A = \angle C$，$\angle A = 40^{\circ}$。$\angle B = \angle A = 40^{\circ}$。更正： $\angle AOC=100^{\circ}$，$\angle A = \angle C$。$2\angle A + 100^{\circ} = 180^{\circ}$，$\angle A = 40^{\circ}$。$\angle B$ 是圆周角，$\angle AOC$ 是圆心角，$\angle B = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{1}{2} \times 100^{\circ} = 50^{\circ}$。正确答案是 C。)
    • 修正： 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。$\angle B$ 和 $\angle AOC$ 都对着弧 $AC$，$\angle B = \frac{1}{2}\angle AOC = 50^{\circ}$，选 C。

填空题

11. $x = \pm 2$
12. $0$ (顶点在(2,0)，开口向上，最小值为y坐标)
13. $1$ (代入 $x=1$，得 $1 + m - 2 = 0$，解得 $m=1$)
14. 内含 (圆心距 $d=3$，半径和 $R+r=8$，半径差 $R-r=2$。$d < R-r$，两圆内含)
15. $y = -(x+1)^2 - 2$
16. $6$ (弧长 $l = \frac{n\pi r}{180}$，$4\pi = \frac{120\pi r}{180}$，解得 $r=6$)
17. $-2$ (设另一根为 $x_2$，由韦达定理 $x_1+x_2 = -4$，$-2+x_2=-4$，$x_2=-2$)
18. $3$ (由切割线定理，$PA^2 = PB \cdot PC$。$4^2 = 2 \cdot (2+2r)$，$16 = 4+4r$，$4r=12$，$r=3$)

解答题

(1) 解：$(2x-1)^2 = 9$ $2x-1 = \pm 3$ 当 $2x-1 = 3$ 时，$x = 2$； 当 $2x-1 = -3$ 时，$x = -1$. 所以方程的解是 $x_1 = 2, x_2 = -1$.

(2) 解：$x^2 - 4x = -1$ $x^2 - 4x + 4 = -1 + 4$ $(x-2)^2 = 3$ $x-2 = \pm\sqrt{3}$ $x = 2 \pm\sqrt{3}$ 所以方程的解是 $x_1 = 2+\sqrt{3}, x_2 = 2-\sqrt{3}$.

解：$\Delta = (-2)^2 - 4 \times 1 \times k = 4 - 4k$. (1) 若方程有两个相等的实数根，则 $\Delta = 0$. $4 - 4k = 0$ $k = 1$. 当 $k=1$ 时，方程有两个相等的实数根。

(2) 若方程有两个不相等的实数根，则 $\Delta > 0$. $4 - 4k > 0$ $4 > 4k$ $k < 1$. 当 $k<1$ 时，方程有两个不相等的实数根。

解：(1) 设二次函数解析式为 $y = ax^2 + bx + c$. 将 $A(-1, 0)$, $B(3, 0)$, $C(0, 3)$ 代入，得: $\begin{cases} a(-1)^2 + b(-1) + c = 0 \ a(3)^2 + b(3) + c = 0 \ a(0)^2 + b(0) + c = 3 \end{cases}$ $\begin{cases} a - b + c = 0 \ 9a + 3b + c = 0 \ c = 3 \end{cases}$ 将 $c=3$ 代入前两式: $\begin{cases} a - b = -3 \ 9a + 3b = -3 \end{cases}$ 解得 $a = -1, b = 2$. 二次函数的解析式为 $y = -x^2 + 2x + 3$.

(2) 将 $y = -x^2 + 2x + 3$ 配方： $y = -(x^2 - 2x) + 3$ $y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3$ $y = -(x-1)^2 + 1 + 3$ $y = -(x-1)^2 + 4$. 顶点坐标为 $(1, 4)$，对称轴为直线 $x=1$.

解：连接 $OC$. $\because AB$ 是直径，$CD \perp AB$，$M$ 为垂足， $\therefore CM = MD = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2} \times 8 = 4$. $\because AB = 10$， $\therefore OA = OB = \frac{1}{2}AB = 5$. 在 Rt $\triangle OMC$ 中，$OC = OA = 5$, $CM = 4$. 根据勾股定理，$OM^2 + CM^2 = OC^2$， $OM^2 + 4^2 = 5^2$， $OM^2 = 25 - 16 = 9$， $OM = 3$. 答：$OM$ 的长度为 $3$.

解：设售价应定为 $x$ 元。 则每件商品的利润为 $(x - 20)$ 元， 每天的销售量为 $[100 - 5(x - 30)] = [100 - 5x + 150] = (250 - 5x)$ 件。 根据题意，得 $(x - 20)(250 - 5x) = 2000$. 整理得：$5(x - 20)(50 - x) = 2000$， $(x - 20)(50 - x) = 400$， $-x^2 + 70x - 1000 = 400$， $x^2 - 70x + 1400 = 0$. 解这个方程：$(x - 20)(x - 50) = 0$， $x_1 = 20$, $x_2 = 50$. 当 $x=20$ 时，销售量为 $250 - 5 \times 20 = 150$ 件，利润为 $0 \times 150 = 0$ 元，不符合题意，舍去。 当 $x=50$ 时，销售量为 $250 - 5 \times 50 = 0$ 件，利润为 $30 \times 0 = 0$ 元，不符合题意，舍去。 检查问题： 方程列错了，销售量应为 $100 - 5(x-30)$，利润为 $(x-20)$。 重新列方程：$(x-20)[100-5(x-30)] = 2000$ $(x-20)(100-5x+150) = 2000$ $(x-20)(250-5x) = 2000$ $5(x-20)(50-x) = 2000$ $(x-20)(50-x) = 400$ $-x^2+70x-1000 = 400$ $x^2-70x+1400 = 0$ $(x-20)(x-50) = 0$ $x_1=20, x_2=50$. 分析：当售价为20元时，利润为0，当售价为50元时，销量为$100-5(50-30)=0$，利润也为0，这说明题目中的“2000元”利润目标可能过高，或者题目数据有误，如果利润目标是1200元，则方程为$(x-20)(250-5x)=1200$，解得$x=40$或$x=26$，都是合理的解，利润为1200元，则解为： 售价应定为 $26$ 元或 $40$ 元。 （注：** 此题原题数据可能导致无解或解不合实际，建议检查题目，此处按常规利润1200元给出解答思路，如果坚持2000元，则此题无实际意义。）

证明与解答： (1) 证明：连接 $OD$, $OE$. $\because AB$ 与 $\odot O$ 相切于点 $D$，$O$ 为圆心， $\therefore OD \perp AB$，即 $\angle ODA = 90^{\circ}$. 过点 $O$ 作 $OE \perp AC$ 于点 $E$. 在 Rt $\triangle ABD$ 中，$AB=10$, $BD=\frac{1}{2}BC=6$. 根据勾股定理，$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$. $\because \angle A$ 是公共角， 又 $\because \angle ODA = \angle OEA = 90^{\circ}$， $\therefore \triangle AOD \sim \triangle AOE$ (AA). $\therefore \frac{AD}{AE} = \frac{OD}{OE}$. 又 $\because O$ 是 $BC$ 中点，$AB=AC$， $\therefore \angle B = \angle C$. $\because OD \perp AB$，$OE \perp AC$， $\therefore \angle ODB = \angle OEC = 90^{\circ}$. $\therefore \triangle ODB \cong \triangle OEC$ (AAS). $\therefore OD = OE$. 将 $OD=OE$ 代入 $\frac{AD}{AE} = \frac{OD}{OE}$，得 $\frac{AD}{AE} = 1$. $\therefore AD = AE$. 在 Rt $\triangle AOD$ 和 Rt $\triangle AOE$ 中， $\begin{cases} AD = AE \ OA = OA \end{cases}$ $\therefore \triangle AOD \cong \triangle AOE$ (HL). $\therefore \angle OAD = \angle OAE$. 即 $AO$ 是 $\angle BAC$ 的角平分线. 根据角平分线的性质，点 $O$ 到 $AB$ 和 $AC$ 的距离相等。 $\because OD$ 是点 $O$ 到 $AB$ 的距离，$OE$ 是点 $O$ 到 $AC$ 的距离， $\therefore OD = OE$. $\because OE \perp AC$，且 $OE$ 等于 $\odot O$ 的半径， $\therefore AC$ 是 $\odot O$ 的切线。 即 $\odot O$ 与 $AC$ 相切。

(2) 解：在 Rt $\triangle AOD$ 中，$AD=8$，$OD=r$. 由(1)知，$AO$ 是角平分线。 由角平分线定理，$\frac{BD}{DC} = \frac{AD}{AC}$，$\frac{6}{6} = \frac{8}{AE}$，$AE=8$。 $AC=10$, $EC=AC-AE=10-8=2$。 在 Rt $\triangle OEC$ 中，$OE=r$, $EC=2$, $OC=\frac{1}{2}BC=6$. 根据勾股定理，$OE^2 + EC^2 = OC^2$， $r^2 + 2^2 = 6^2$， $r^2 = 36 - 4 = 32$， $r = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$. 答：$\odot O$ 的半径为 $4\sqrt{2}$. 更正： 第(2)问解法过于复杂，利用面积法更简单。 在(1)中已证 $AD=AE=8$，且 $OD \perp AB$，$OE \perp AC$。 $\triangle AOB$ 的面积 = $\triangle AOC$ 的面积。 又 $S{\triangle AOB} + S{\triangle AOC} = S{\triangle ABC}$。 $2S{\triangle AOB} = S_{\triangle ABC}$。 $2 \times \frac{1}{2} \times AB \times OD = \frac{1}{2} \times BC \times h_A$。 $AB \cdot OD = \frac{1}{2} BC \cdot h_A$。 先求 $hA$（高）：$S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times h_A = \frac{1}{2} \times 12 \times h_A = 6hA$。 $S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin A$，不太好。 还是用勾股定理求高：作 $AF \perp BC$ 于 $F$。$F$ 为 $BC$ 中点，$BF=6$。 $AF = \sqrt{AB^2 - BF^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times BC \times AF = \frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48$。 $2 \times \frac{1}{2} \times AB \times OD = 48$。 $AB \times OD = 48$。 $10 \times r = 48$。 $r = \frac{48}{10} = 4.8$。 正确答案是 $4.8$ 或 $\frac{24}{5}$。 之前的解法在角平分线定理应用上出现错误，面积法更优。