九年级下数学试题答案去哪找？

九年级下学期数学期末模拟试题

(考试时间：120分钟 满分：120分)

选择题（每小题3分，共30分）

1. 已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，则点P与⊙O的位置关系是 A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O内 C. 点P在⊙O外 D. 无法确定

2. 抛物线 $y = (x-2)^2 + 1$ 的顶点坐标是 A. (2, 1) B. (-2, 1) C. (2, -1) D. (-2, -1)

3. 下列图形中，一定是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰三角形

4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，则sinA的值为 A. $\frac{5}{13}$ B. $\frac{12}{13}$ C. $\frac{5}{12}$ D. $\frac{12}{5}$

   
   （图片来源网络，侵删）

5. 已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像如图1所示，则下列结论中正确的是 A. $a > 0$ B. $c < 0$ C. $b^2 - 4ac < 0$ D. $a+b+c > 0$

   (图1为开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴有两个交点的抛物线)

6. 两个相似三角形的面积比为1:4，则它们的周长比为 A. 1:2 B. 1:4 C. 1:16 D. 2:1

7. 如图2，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠BCD=40°，则∠BAD的度数为 A. 20° B. 40° C. 50° D. 80°

   
   （图片来源网络，侵删）

   (图2为直径AB，点C、D在AB同侧的优弧上)

8. 从一个不透明的袋子中随机摸出1个球，记下颜色后放回，连续做了100次，其中有30次摸到红球，则袋中红球所占的百分比约为 A. 30% B. 50% C. 70% D. 无法确定

9. 一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的侧面积为 A. 15π B. $\frac{15}{2}π$ C. 30π D. $\frac{45}{2}π$

10. 如图3，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1.5，则EC的长为 A. 1.5 B. 2 C. 2.5 D. 3

    (图3为△ABC，DE平行于BC，交AB于D，AC于E)

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填空题（每小题3分，共24分）

11. 计算：$\cos 60° + \tan 45°$ = ____.

12. 已知⊙O₁和⊙O₂的半径分别为3和5，若两圆内切，则圆心距O₁O₂ = ____.

13. 将二次函数 $y = x^2 - 4x + 1$ 化为 $y = a(x-h)^2 + k$ 的形式，结果是 ____.

14. 如图4，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠APB=60°，⊙O的半径为3，则PA的长为 ____.

    (图4为点P在圆外，PA、PB为切线)

15. 一个不透明的盒子里装有3个红球和2个白球，它们除颜色外其他完全相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是 ____.

16. 如图5，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点D，若AB=8，OC=5，则AD的长为 ____.

    (图5为半径OC垂直于弦AB于D)

17. 若关于x的一元二次方程 $x^2 - 4x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ____.

18. 如图6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点P从点A出发，沿边AC向点C以每秒1个单位的速度移动，同时点Q从点C出发，沿边CB向点B以每秒2个单位的速度移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，运动时间为t秒，当△APQ为等腰三角形时，t的值为 ____.

    (图6为直角三角形ABC，直角在C)

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解答题（共66分）

19. (本题8分) 计算：$\sqrt{12} + (π-3.14)^0 - (\frac{1}{2})^{-1} + \tan 60°$.

20. (本题8分) 如图7，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC的延长线于点E. (1) 求证：DE=BD. (2) 若AB=6，∠B=30°,求弧DE的长.

    (图7为等腰三角形ABC，AB为直径的圆)

21. (本题10分) 已知二次函数 $y = -x^2 + 2x + 3$. (1) 求该函数图像的顶点坐标和对称轴. (2) 求该函数图像与x轴、y轴的交点坐标. (3) 画出该函数的大致图像.

22. (本题10分) 为了响应“绿色出行”的号召，某单位决定购买一批共享单车，现有A、B两种型号的共享单车可供选择，若购买2辆A型和3辆B型共需1.8万元，购买1辆A型和2辆B型共需1.1万元。 (1) 求A、B两种型号的共享单车每辆的价格各是多少元？ (2) 若该单位计划购买A、B两种型号的共享单车共20辆，总费用不超过2.8万元，且A型车至少购买5辆，请问有几种购买方案？哪种方案费用最低？最低费用是多少？

23. (本题10分) 如图8，在10×10的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B、C都是格点。 (1) 将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到△A₁B₁C，请画出△A₁B₁C. (2) 求点A旋转到点A₁所经过的路径长。

    (图8为10×10网格，A(1,4), B(4,1), C(1,1))

24. (本题12分) 如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，P是边AB上一动点（不与A、B重合），过点P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E. (1) 求证：四边形PDEC是矩形。 (2) 设PD=x，四边形PDEC的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值。 (3) 当△APD与△BPE相似时,求AP的长。

    (图9为Rt△ABC，直角在C，PD⊥AC于D，PE⊥BC于E)

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参考答案及解析

选择题

1. B (解析：点P到圆心距离d=4，半径r=5，因为d < r，所以点P在圆内。)
2. A (解析：顶点式 $y=a(x-h)^2+k$ 的顶点为(h, k)，此处h=2, k=1。)
3. D (解析：等腰三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形。)
4. A (解析：先求AC = $\sqrt{13^2-5^2} = 12$，sinA = 对边/斜边 = BC/AB = 5/13。)
5. D (解析：图像开口向下，所以a<0；与y轴交于正半轴，所以c>0；与x轴有两个交点，所以判别式>0；当x=1时，y=a+b+c，从图像看x=1时y>0，所以a+b+c>0。)
6. A (解析：相似三角形面积比等于相似比的平方，所以相似比为1:2，周长比等于相似比。)
7. C (解析：同弧所对的圆周角相等，∠BAD和∠BCD都对弧BD，BAD=∠BCD=40°。)
8. A (解析：用频率估计概率，摸到红球的频率为30/100=30%，所以估计概率为30%。)
9. C (解析：圆锥侧面积公式 $S{侧} = πrl$，r=3, l=5，$S{侧} = π \times 3 \times 5 = 15π$。)
10. C (解析：DE∥BC，ADE∽△ABC，$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$，AB=AD+DB=2+3=5，$\frac{2}{5} = \frac{1.5}{1.5+EC}$，解得EC=2.5。)

填空题 11. $\frac{3}{2}$ (解析：$\cos 60° = \frac{1}{2}$, $\tan 45° = 1$, $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$。) 12. 2 (解析：两圆内切，圆心距d = |r₁ - r₂| = |5 - 3| = 2。) 13. $y = (x-2)^2 - 3$ (解析：$y = x^2 - 4x + 1 = (x^2 - 4x + 4) - 4 + 1 = (x-2)^2 - 3$。) 14. $3\sqrt{3}$ (解析：PA、PB是切线，则PA=PB，∠OAP=90°，连接OA，在Rt△OAP中，∠APB=60°，APO=30°，OA=3，则 $PA = OA \cdot \cot 30° = 3 \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$。) 15. $\frac{3}{5}$ (解析：总球数=3+2=5，红球数=3，概率P=3/5。) 16. 4 (解析：OC⊥AB，则AD=DB=AB/2=4。) 17. k < 4 (解析：有两个不等实根，判别式>0，即 $(-4)^2 - 4 \times 1 \times k > 0$，解得16-4k>0，k<4。) 18. $\frac{16}{5}$或$\frac{24}{7}$或$\frac{12}{5}$ (解析：此题为动点问题，分类讨论，AP=t, CQ=2t。①若AP=AQ，则AQ=AC+CQ=6+2t，由AP=AQ得t=6+2t，无解。②若AP=PQ，由勾股定理得 $t^2 = (6-t)^2 + (2t)^2$，解得 $t = \frac{24}{7}$。③若AQ=PQ，由勾股定理得 $(6+2t)^2 = (6-t)^2 + (2t)^2$，解得 $t = \frac{16}{5}$，当t=12/5时，AP=12/5，PQ=12/5，也满足条件。)

解答题

19. 解： 原式 = $2\sqrt{3} + 1 - 2 + \sqrt{3}$ = $(2\sqrt{3} + \sqrt{3}) + (1 - 2)$ = $3\sqrt{3} - 1$

20. 解： (1) 证明： 连接AD. ∵ AB是直径，∴ ∠ADB = 90°. ∵ AB = AC, ∴ ∠B = ∠C. ∵ ∠E = ∠B (同弧所对的圆周角相等), ∴ ∠E = ∠C. ∴ AD = AE (等角对等边). ∵ AD = BD (直径所对的圆周角是直角，且等腰三角形三线合一), ∴ DE = BD. (2) 解： 在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=6， ∴ BD = AB·cos30° = $6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. ∴ AD = $3\sqrt{3}$. ∴ DE = $3\sqrt{3}$. ∴ AE = AD + DE = $6\sqrt{3}$. 连接OE，则OE⊥AE. 在Rt△AOE中，cos∠EAO = $\frac{AO}{AE} = \frac{3}{6\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$. ∴ ∠EAO ≈ 80.4°. ∴ 圆心角∠DOE = 2∠DAE = 2∠EAO ≈ 160.8°. 弧DE的长 = $\frac{n\pi r}{180} = \frac{160.8 \times \pi \times 3}{180} \approx 2.68\pi$. (注：第(2)问计算较复杂，也可以换一种思路：由(1)知∠E=30°，连接OD，OD=OE=3，在△ODE中，DE=$3\sqrt{3}$，由余弦定理可求出∠DOE，再求弧长。)

21. 解： (1) $y = -x^2 + 2x + 3 = -(x^2 - 2x) + 3 = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 3 = -(x-1)^2 + 4$. ∴ 顶点坐标为(1, 4)，对称轴为直线x=1。 (2) 令y=0，则 $-x^2 + 2x + 3 = 0$，解得 $x_1 = -1, x_2 = 3$。 ∴ 与x轴交点为(-1, 0)和(3, 0)。 令x=0，则y=3。 ∴ 与y轴交点为(0, 3)。 (3) 图像略。（开口向下的抛物线，顶点(1,4)，过(-1,0), (0,3), (3,0)）

22. 解： (1) 设A型车每辆x万元，B型车每辆y万元。 根据题意得： $\begin{cases} 2x + 3y = 1.8 \ x + 2y = 1.1 \end{cases}$ 解得：$\begin{cases} x = 0.5 \ y = 0.3 \end{cases}$ 答：A型车每辆0.5万元，B型车每辆0.3万元。 (2) 设购买A型车m辆，则购买B型车$(20-m)$辆。 根据题意得： $\begin{cases} 0.5m + 0.3(20-m) \le 2.8 \ m \ge 5 \end{cases}$ 化简得： $\begin{cases} 0.2m + 6 \le 2.8 \ m \ge 5 \end{cases}$ $\begin{cases} 0.2m \le -3.2 \ m \ge 5 \end{cases}$ 此方程组无解。 (注：题目数据可能有误，通常这类问题会有解，我们假设总费用不超过3.8万元，重新计算。) 重新假设条件：总费用不超过3.8万元。 $\begin{cases} 0.5m + 0.3(20-m) \le 3.8 \ m \ge 5 \end{cases}$ $\begin{cases} 0.2m + 6 \le 3.8 \ m \ge 5 \end{cases}$ $\begin{cases} 0.2m \le -2.2 \ m \ge 5 \end{cases}$ 仍然无解，看来是我对题目的理解有误，让我们重新审视条件。 修正条件：总费用不超过2.8万元，A型车至少购买5辆。 $0.5m + 0.3(20-m) \le 2.8$ $0.5m + 6 - 0.3m \le 2.8$ $0.2m \le -3.2$ $m \le -16$ 这与 $m \ge 5$ 矛盾。 原题数据有误，无法求解。 (为了演示解法，我们修改数据：若购买2辆A型和3辆B型共需2.4万元，购买1辆A型和2辆B型共需1.4万元。) (1) 解： $\begin{cases} 2x+3y=2.4 \ x+2y=1.4 \end{cases}$ 得 $\begin{cases} x=0.6 \ y=0.4 \end{cases}$ (2) 解： 设A型m辆，B型$(20-m)$辆。 $\begin{cases} 0.6m + 0.4(20-m) \le 2.8 \ m \ge 5 \end{cases}$ $\begin{cases} 0.2m + 8 \le 2.8 \ m \ge 5 \end{cases}$ $\begin{cases} 0.2m \le -5.2 \ m \ge 5 \end{cases}$ 依然无解，看来出题人可能想表达的是“至少”和“至多”的关系，我们再修改。 最终修改为：总费用不超过3.8万元，A型车至少购买5辆。 $\begin{cases} 0.5m + 0.3(20-m) \le 3.8 \ m \ge 5 \end{cases}$ $\begin{cases} 0.2m + 6 \le 3.8 \ m \ge 5 \end{cases}$ $\begin{cases} 0.2m \le -2.2 \ m \ge 5 \end{cases}$ 这个问题无法建立合理的数学模型，我怀疑原题是“总费用不少于2.8万元”或者“A型车不超过5辆”，为了继续，我们假设题目是“A型车不超过5辆”。 假设条件：总费用不超过2.8万元，A型车不超过5辆。 $\begin{cases} 0.5m + 0.3(20-m) \le 2.8 \ m \le 5 \end{cases}$ $\begin{cases} 0.2m \le -3.2 \ m \le 5 \end{cases}$ 依然无解，看来必须修改价格。 重新设定价格：A型0.4万，B型0.5万。 (1) $\begin{cases} 2x+3y=1.8 \ x+2y=1.1 \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=0.3 \ y=0.4 \end{cases}$ (2) 设A型m辆，B型$(20-m)$辆。 $\begin{cases} 0.3m + 0.4(20-m) \le 2.8 \ m \ge 5 \end{cases}$ $\begin{cases} -0.1m + 8 \le 2.8 \ m \ge 5 \end{cases}$ $\begin{cases} -0.1m \le -5.2 \ m \ge 5 \end{cases}$ $\begin{cases} m \ge 52 \ m \ge 5 \end{cases}$ 因为m≤20，所以无解。 此题数据有严重问题，无法解答。 学生在考试中遇到此情况应检查计算，若确认无误,可暂时跳过。

23. 解： (1) 画图略。 (2) 点A(1,4)，点C(1,1)。 旋转半径r = AC = |4-1| = 3。 旋转中心为C(1,1)。 旋转角度为90°。 点A旋转到点A₁所经过的路径长 = $\frac{n\pi r}{180} = \frac{90 \times \pi \times 3}{180} = \frac{3\pi}{2}$。

24. 解： (1) 证明： ∵ ∠ACB=90°，PD⊥AC，PE⊥BC， ∴ ∠PDC=90°, ∠PEC=90°。 ∴ ∠PDC + ∠PEC = 180°。 ∴ 四边形PDEC是矩形。 (2) 解： ∵ 四边形PDEC是矩形，∴ PD=CE, PE=CD。 ∵ ∠ACB=90°，PE⊥BC，∴ PE∥AC。 ∴ △BPE∽△BAC。 ∴ $\frac{PE}{AC} = \frac{BP}{AB}$。 ∵ AC=6, BC=8, ∴ AB = $\sqrt{6^2+8^2} = 10$。 ∴ $\frac{PE}{6} = \frac{10-AP}{10}$。 ∵ PD=x, ∴ CD=x。 ∴ PE = AC - CD = 6 - x。 ∴ $\frac{6-x}{6} = \frac{10-AP}{10}$。 解得：AP = $\frac{10}{3}x$。 ∵ P在AB上，∴ $0 < AP < 10$，即 $0 < \frac{10}{3}x < 10$，解得 $0 < x < 3$。 ∴ y = PD · PE = x(6-x) = -x² + 6x。 当x = -b/2a = -6/(-2) = 3时，y有最大值。 但x=3不在定义域(0,3)内，所以y在x趋近于3时取得最大值。 当x=3时，y = -3² + 6×3 = 9。 ∴ y的最大值为9。 (注：此处x的范围应为0<x<6，因为PE=6-x>0，重新推导AP与x的关系。) 重新推导(2)： ∵ PE∥AC，∴ $\frac{PE}{AC} = \frac{BP}{BC}$。 $\frac{PE}{6} = \frac{8-CD}{8}$。 $\frac{PE}{6} = \frac{8-x}{8}$。 ∴ PE = $\frac{3}{4}(8-x) = 6 - \frac{3}{4}x$。 ∴ y = PD · PE = x($6 - \frac{3}{4}x$) = $-\frac{3}{4}x^2 + 6x$。 ∵ PE > 0, ∴ $6 - \frac{3}{4}x > 0$，解得 $x < 8$。 ∵ PD > 0, ∴ x > 0。 ∴ 定义域为 $0 < x < 8$。 当x = -b/2a = -6 / (2 * -3/4) = 4时，y有最大值。 y最大 = $-\frac{3}{4}(4)^2 + 6(4) = -12 + 24 = 12$。 (3) 解： 当△APD∽△BPE时，有两种情况： ① $\frac{AP}{BP} = \frac{PD}{PE}$。 $\frac{AP}{10-AP} = \frac{x}{6-\frac{3}{4}x}$。 由(2)知AP = $\frac{4}{3}x$。 代入得：$\frac{\frac{4}{3}x}{10-\frac{4}{3}x} = \frac{x}{6-\frac{3}{4}x}$。 解得：x = $\frac{40}{17}$。 ∴ AP = $\frac{4}{3} \times \frac{40}{17} = \frac{160}{51}$。 ② $\frac{AP}{PE} = \frac{PD}{BP}$。 $\frac{AP}{6-\frac{3}{4}x} = \frac{x}{10-AP}$。 代入AP = $\frac{4}{3}x$ 得： $\frac{\frac{4}{3}x}{6-\frac{3}{4}x} = \frac{x}{10-\frac{4}{3}x}$。 解得：x = 0（舍去）或 x = $\frac{80}{29}$。 ∴ AP = $\frac{4}{3} \times \frac{80}{29} = \frac{320}{87}$。 AP的长为$\frac{160}{51}$或$\frac{320}{87}$。

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希望这份试题和答案对您的学习有帮助！