七年级数学知识点有哪些重点与难点？

初中七年级数学知识点总结

七年级数学是小学到初中的过渡阶段,核心是“数”的扩展和“形”的初步认识，它为整个初中数学学习奠定了坚实的基础。

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上册：数与代数

第一章 有理数

这是整个初中数学的基石,是数域从小学的“非负数”扩展到“有理数”的关键一步。

基本概念

• 有理数: 整数和分数统称为有理数，包括正整数、0、负整数、正分数、负分数。
• 数轴: 规定了原点、正方向、单位长度的一条直线，数轴上的点与有理数一一对应。
• 相反数: 只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，在数轴上，表示相反数的两个点关于原点对称。
• 绝对值: 数轴上表示数a的点与原点的距离，记作 |a|。
  • |a| ≥ 0 (绝对值是非负数)
  • |a| = a (当 a ≥ 0 时)
  • |a| = -a (当 a < 0 时)

有理数的运算

• 加法法则:
  • 同号两数相加,取相同的符号，并把绝对值相加。
  • 异号两数相加,取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
  • 互为相反数的两个数相加得0。
  • 一个数同0相加,仍得这个数。
• 减法法则: 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 a - b = a + (-b)
• 乘法法则:
  • 两数相乘,同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
  • 任何数同0相乘,都得0。
  • 几个不为0的数相乘,积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数时，积为正；负因数的个数是奇数时，积为负。
• 除法法则:
  • 两数相除,同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
  • 0除以任何一个不为0的数,都得0。
  • 除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数。 a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0)
• 乘方: 求n个相同因数的积的运算。aⁿ (a是底数，n是指数)。
  • 正数的任何次幂都是正数。
  • 负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数。
  • 0的任何正整数次幂都是0。
• 混合运算顺序:
  1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减。
  2. 同级运算,从左到右进行。
  3. 如有括号,先算小括号，再算中括号，最后算大括号。

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第二章 整式的加减

这是从“数”到“式”的飞跃，引入了用字母表示数，是代数的基础。

基本概念

• 单项式: 由数与字母的乘积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式。
  • 系数: 单项式中的数字因数。
  • 次数: 单项式中所有字母的指数和。
• 多项式: 几个单项式的和。
  • 项: 多项式中每个单项式。
  • 常数项: 不含字母的项。
  • 次数: 多项式中次数最高的项的次数。
  • 升幂排列/降幂排列: 按某个字母的指数从低到高或从高到低排列。
• 同类项: 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。常数项是同类项。

法则与运算

• 去括号法则:
  • 括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项符号不变。
  • 括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项符号都改变。
• 合并同类项法则: 把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。
• 整式的加减: 实质就是去括号和合并同类项。

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第三章 一元一次方程

方程是初中代数的核心内容,一元一次方程是最基础的方程模型。

基本概念

• 方程: 含有未知数的等式。
• 方程的解: 使方程左右两边相等的未知数的值。
• 解方程: 求方程的解的过程。
• 一元一次方程: 只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1（次）的方程。

解一元一次方程的步骤与依据

• 步骤:
  1. 去分母 (方程两边同乘各分母的最小公倍数)。
  2. 去括号 (运用去括号法则)。
  3. 移项 (把含未知数的项移到方程一边，常数项移到另一边，移项要变号)。
  4. 合并同类项 (化成 ax = b 的形式)。
  5. 系数化为1 (方程两边同除以未知数的系数 a)。
• 依据: 等式的性质。
  • 性质1: 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
  • 性质2: 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

实际问题应用

• 常见类型: 和差倍分问题、行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作总量=工作效率×工作时间）、利润问题、配套问题等。
• 解题关键: 设未知数，根据等量关系列方程。

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第四章 图形的初步认识

从“数”的世界进入“形”的世界，培养空间想象能力。

多姿多彩的图形

• 立体图形: 正方体、长方体、圆柱、圆锥、球等。
  • 视图: 从正面、上面、左面看一个物体得到的平面图形。
  • 展开图: 立体图形沿某些棱剪开后铺平得到的平面图形。
• 平面图形: 线段、角、三角形、圆等。

直线、射线、线段

• 直线: 向两方无限延伸，无端点，无数个点，不能度量。
• 射线: 直线上一点和它一旁的部分，有一个端点，不能度量。
• 线段: 直线上两点及其之间的部分，有两个端点，可以度量。
• 公理: 两点之间，线段最短。
• 中点: 将一条线段分成两条相等线段的点。

角

• 定义: 有公共端点的两条射线组成的图形。
• 度量: 度(°)、分(')、秒(")。 1° = 60', 1' = 60"。
• 类型: 锐角(0° < α < 90°)、直角(α = 90°)、钝角(90° < α < 180°)、平角(α = 180°)、周角(α = 360°)。
• 余角和补角:
  • 如果两个角的和是90°，那么这两个角互为余角。
  • 如果两个角的和是180°，那么这两个角互为补角。
  • 性质: 同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。

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下册：几何与代数进阶

第五章 相交线与平行线

这是平面几何的入门,重点研究线的位置关系。

相交线

• 邻补角: 有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角。互补。
• 对顶角: 一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线。相等。
• 垂线: 两条直线相交成直角时，称它们互相垂直，其中一条直线叫做另一条的垂线。
  • 性质: 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

平行线

• 平行公理: 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
• 平行线的判定:
  • 同位角相等,两直线平行。
  • 内错角相等,两直线平行。
  • 同旁内角互补,两直线平行。
• 平行线的性质:
  • 两直线平行,同位角相等。
  • 两直线平行,内错角相等。
  • 两直线平行,同旁内角互补。
• 平移: 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形运动称为平移。
  • 性质: 平移不改变图形的形状和大小，连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。

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第六章 实数

将数的范围从有理数扩展到实数。

平方根

• 算术平方根: 如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x² = a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记作 √a。0的算术平方根是0。
• 平方根: 如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根（或二次方根），一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

立方根

• 立方根: 如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根（或三次方根），记作 ³√a。

  正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0。

实数

• 无理数: 无限不循环小数。, √2, √3, 0.1010010001... (两个1之间0的个数依次增加)。
• 实数: 有理数和无理数统称为实数。
• 实数与数轴: 数轴上的点与实数一一对应。
• 实数的相反数、绝对值、倒数: 意义与有理数相同。
• 实数的大小比较: 正数大于0，负数小于0；两个正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数小。

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第七章 平面直角坐标系

“数”与“形”的完美结合，是函数入门的基础。

坐标系

• 平面直角坐标系: 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成。

  横轴（x轴）、纵轴（y轴）、原点。

• 点的坐标: 对于平面内任意一点P，过P点分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b，分别叫做点P的横坐标和纵坐标，有序数对 (a, b) 叫做点P的坐标。
• 象限坐标特点:
  • 第一象限 ()
  • 第二象限 ()
  • 第三象限 ()
  • 第四象束 ()

坐标方法的应用

• 对称点的坐标:
  • 关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数 (a, b) → (a, -b)。
  • 关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数 (a, b) → (-a, b)。
  • 关于原点对称：横、纵坐标都互为相反数 (a, b) → (-a, -b)。
• 用坐标表示平移:
  • 左右平移：横坐标左减右加，纵坐标不变。
  • 上下平移：纵坐标上加下减，横坐标不变。

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第八章 二元一次方程组

从“一元”到“多元”，方程思想的深化。

基本概念

• 二元一次方程组: 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组。
• 方程组的解: 同时使方程组中每个方程都成立的未知数的值。

解法

• 代入消元法 (代入法):
  1. 从方程组中选一个系数较简单的方程,将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来。
  2. 将这个式子代入另一个方程,消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
  3. 解这个一元一次方程,求出一个未知数的值。
  4. 将求得的未知数的值代回步骤1中的式子,求出另一个未知数的值。
• 加减消元法 (加减法):
  1. 方程组中某个未知数的系数相等或互为相反数。
  2. 如果系数相等,用两个方程相减；如果系数互为相反数，用两个方程相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
  3. 之后的步骤与代入法相同。

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第九章 不等式与不等式组

研究“大小关系”的模型。

不等式的基本概念

• 不等式: 用不等号（ <, >, , , ）表示不等关系的式子。
• 不等式的解: 能使不等式成立的未知数的值。
• 不等式的解集: 一个不等式的所有解的集合。
• 解不等式: 求不等式解集的过程。

不等式的性质

• 性质1: 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
• 性质2: 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
• 性质3: 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变！

一元一次不等式组

• 定义: 几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
• 解集: 不等式组中所有不等式的解集的公共部分。
• 解法: 分别求出每个不等式的解集，在数轴上表示出来，找出它们的公共部分。
• 口诀: 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了。

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学习建议

1. 理解概念，而非死记硬背: 数学概念是逻辑的起点，理解了“绝对值是距离”，就自然知道它为什么是非负数。
2. 勤于练习，总结方法: 数学是“做”出来的，通过练习，才能熟练掌握各种题型的解题技巧，做完题后要反思：这道题用了什么知识点？还有没有其他解法？
3. 建立错题本: 这是提高数学成绩最有效的方法之一，记录错题、错误原因、正确解法和反思，定期回顾，确保不再犯同类错误。
4. 数形结合思想: 七年级的数轴、坐标系、几何图形都是“数形结合”的体现，学会用图形来帮助理解抽象的代数问题，是学好初中数学的关键。
5. 注重逻辑推理: 无论是几何证明还是代数求解，每一步都要有理有据，培养严谨的逻辑思维，会让你受益终身。

希望这份总结能帮助你构建完整的知识体系,在数学学习的道路上越走越顺！