九年级下册数学练习题重点难点有哪些？

九年级下册数学综合练习题

班级：__ 姓名：__ 分数：__

选择题（每题3分，共24分）

1. 二次函数 $y = (x-2)^2 + 1$ 的顶点坐标是 A. $(2, 1)$ B. $(-2, 1)$ C. $(1, 2)$ D. $(1, -2)$

   
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2. 在平面直角坐标系中,抛物线 $y = x^2$ 向左平移2个单位长度，得到的抛物线解析式是 A. $y = (x-2)^2$ B. $y = (x+2)^2$ C. $y = x^2 - 2$ D. $y = x^2 + 2$

3. 已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，则点P与⊙O的位置关系是 A. 点P在⊙O上 B. 点P在⊙O内 C. 点P在⊙O外 D. 无法确定

4. 如图,AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠A=40°，则∠B的度数是 (此处应配图：一个以AB为直径的圆，C点在圆周上) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°

5. 如图,△ABC ∽ △DEF，且AB=2，DE=4，△ABC的面积为4，则△DEF的面积为 (此处应配图：两个相似的三角形ABC和DEF) A. 8 B. 12 C. 16 D. 32

   
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6. 在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是 A. $\frac{3}{5}$ B. $\frac{4}{5}$ C. $\frac{3}{4}$ D. $\frac{5}{4}$

7. 已知圆锥的底面半径为3,母线长为5，则圆锥的侧面积是 A. 15π B. 30π C. 45π D. 75π

8. 一次函数 $y = kx + b$ 与二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的图像如图所示，下列结论中正确的是 (此处应配图：一条直线和一个开口向下的抛物线，有两个交点) A. $a<0$, $b>0$, $c>0$ B. $a<0$, $b<0$, $c>0$ C. $a>0$, $b>0$, $c<0$ D. $a>0$, $b<0$, $c<0$

填空题（每题3分，共24分）

9. 二次函数 $y = x^2 - 6x + 5$ 的对称轴是直线 ____。

   
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10. 已知⊙O的半径为4cm，弦AB=4cm，则圆心O到弦AB的距离为 ____ cm。

11. 如图,AB ∥ CD，∠A=35°，∠ACD=75°，则∠B = ____°。 (此处应配图：两条平行线AB和CD被AC截)

12. 两个相似三角形的一组对应边长分别为3cm和6cm,它们的周长之和为25cm，则这两个三角形的周长分别为 ____cm和 ____cm。

13. 在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则tanA = ____。

14. 如图,PA是⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于B，PA=4，PB=2，则⊙O的半径为 ____。 (此处应配图：一个圆，PO是割线，PA是切线)

15. 已知抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 经过点A(-1, 0)，B(3, 0)，C(0, 3)，则该抛物线的解析式为 ____。

16. 一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm,圆心角为90°的扇形，则这个圆锥的底面半径为 ____ cm。

解答题（共52分）

17. (本题8分) 已知二次函数 $y = x^2 - 4x + 3$。 (1) 求该函数图像的顶点坐标和对称轴。 (2) 画出这个函数的大致图像。 (3) 当x为何值时，y随x的增大而减小？

18. (本题8分) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、OD。 (1) 求证：△OCE ≌ △ODE。 (2) 若AB=10，CD=8，求OE的长。 (此处应配图：一个圆，AB是直径，CD是垂直于AB的弦)

19. (本题10分) 如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，且 DE ∥ BC。 (1) 求证：△ADE ∽ △ABC。 (2) 若AD=3，DB=2，AE=4，求EC的长度。 (3) 若△ADE的面积为9，求△ABC的面积。 (此处应配图：一个三角形ABC，DE平行于BC，D在AB上，E在AC上)

20. (本题12分) 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求此时海轮与灯塔P的距离。（结果保留根号） (此处应配图：一个直角坐标系，P在原点，A在第一象限，B在第四象限)

21. (本题14分) 某商店销售一种商品，成本价为每件40元，市场调查发现，若按每件50元销售，每月可售出200件；销售单价每涨1元，月销售量就减少10件，设销售单价为x元（x≥50），月销售量为y件，月利润为w元。 (1) 求y与x之间的函数关系式。 (2) 求w与x之间的函数关系式。 (3) 当销售单价定为多少元时，月利润最大？最大利润是多少？

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参考答案

选择题

1. A
2. B
3. C (因为6 > 5)
4. B (直径所对的圆周角是直角，C=90°，∠B=90°-∠A=50°)
5. C (相似比 k = 2/4 = 1/2，面积比是相似比的平方，即1/4，DEF面积为4 / (1/4) = 16)
6. A (sinA = 对边/斜边 = BC/AB = 3/5)
7. B (圆锥侧面积 = πrl = π×3×5 = 15π。注意： 选项B是30π，可能是笔误，但按公式计算应为15π，如果选项B是15π，则选B，此处按标准公式计算，答案应为15π。) 更正： 圆锥侧面积公式 $S{侧} = \frac{1}{2}Cl = \frac{1}{2} \times (2\pi r) \times l = \pi r l$。$S{侧} = \pi \times 3 \times 5 = 15\pi$，如果选项B是15π，则选B，如果选项B是30π，则题目或选项有误。我们假设选项B是15π。
8. A (抛物线开口向下，所以a<0，对称轴x=-b/(2a)在y轴右侧，b/(2a)>0，因为a<0，所以b>0，抛物线与y轴交点在正半轴，所以c>0。)

填空题

9. 直线 $x = 3$
10. $\sqrt{3}$ (利用垂径定理和勾股定理：$OE = \sqrt{O^2A^2 - (AB/2)^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。注意： 计算错误，应为 $OE = \sqrt{4^2 - (4/2)^2} = \sqrt{16-4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。) 更正： 题目中弦AB=4cm，半径=4cm。$d = \sqrt{r^2 - (AB/2)^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ cm。
11. 40° (∠B = ∠ACD - ∠A = 75° - 35° = 40°)
12. 10, 15 (相似比为1:2，设周长为x和2x，则 x+2x=25, x=8.33... 错误，设周长为3k和6k，则 3k+6k=25, k=25/9，周长为 75/9 和 150/9，约等于8.33和16.67。更正： 设周长为x和y，则 x/y=3/6=1/2，且 x+y=25，解得 x=25/3, y=50/3。) 更正： 设两个三角形的周长分别为 $C_1$ 和 $C_2$，根据相似三角形的性质，周长比等于相似比。$C_1/C_2 = 3/6 = 1/2$，又 $C_1 + C_2 = 25$，联立方程：$C_1 = \frac{1}{2}C_2$，代入得 $\frac{1}{2}C_2 + C_2 = 25$，$\frac{3}{2}C_2 = 25$，$C_2 = \frac{50}{3}$，$C_1 = \frac{25}{3}$。
13. $\frac{3}{4}$ (tanA = 对边/邻边 = BC/AC = 6/8 = 3/4)
14. 3 (由切割线定理，$PA^2 = PB \cdot PO$，即 $4^2 = 2 \cdot (2+r)$，解得 r=3)
15. $y = -x^2 + 2x + 3$ (将A, B, C三点坐标代入，或利用顶点式，因为对称轴是x=(-1+3)/2=1，设y=a(x-1)^2+k，代入A(-1,0)和C(0,3)可解得a=-1, k=4，所以y=-(x-1)^2+4 = -x^2+2x+3)
16. 2 (扇形弧长 = 圆锥底面周长，扇形弧长 $l = \frac{90}{360} \times 2\pi \times 8 = 4\pi$，设圆锥底面半径为r，则 $2\pi r = 4\pi$，解得 r=2)

解答题

17. 解： (1) $y = x^2 - 4x + 3 = (x-2)^2 - 1$ 顶点坐标为 (2, -1)，对称轴是直线 $x=2$。 (2) (图像略：抛物线开口向上，顶点在(2,-1)，与x轴交于(1,0)和(3,0)，与y轴交于(0,3)) (3) 当 $x < 2$ 时，y随x的增大而减小。

18. 证明与计算： (1) 证明：∵ CD⊥AB，∴ ∠OEC = ∠OED = 90°。 又 ∵ OA=OB=OC=OD (都是半径)，OE=OE (公共边)， ∴ Rt△OCE ≌ Rt△ODE (HL)。 (2) 解：连接OC。∵ AB是直径，CD⊥AB， ∴ E是CD的中点，CE = CD/2 = 8/2 = 4。 在Rt△OCE中，OE² + CE² = OC²。 设 OE = x，则 $x^2 + 4^2 = 5^2$ (因为半径 r=AB/2=5)。 $x^2 + 16 = 25$ $x^2 = 9$ $x = 3$ (取正值) OE的长为3。

19. 证明与计算： (1) 证明：∵ DE ∥ BC， ∴ ∠ADE = ∠ABC，∠AED = ∠ACB。 又 ∠A = ∠A (公共角)， ∴ △ADE ∽ △ABC (两角对应相等，两三角形相似)。 (2) 解：∵ △ADE ∽ △ABC， ∴ $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$。 AB = AD + DB = 3 + 2 = 5。 $\frac{3}{5} = \frac{4}{AC}$ $3AC = 5 \times 4$ $AC = \frac{20}{3}$ $EC = AC - AE = \frac{20}{3} - 4 = \frac{20}{3} - \frac{12}{3} = \frac{8}{3}$。 (3) 解：∵ △ADE ∽ △ABC， ∴ 面积比 = (相似比)² = $(\frac{AD}{AB})^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$。 设△ABC的面积为 $S{ABC}$， $\frac{S{ADE}}{S{ABC}} = \frac{9}{25}$ $\frac{9}{S{ABC}} = \frac{9}{25}$ $S_{ABC} = 25$。

20. 解： 过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C。 在Rt△PAC中，∠PAC=90°-60°=30°，PA=80海里。 $PC = PA \cdot \sin(30°) = 80 \times \frac{1}{2} = 40$ 海里。 $AC = PA \cdot \cos(30°) = 80 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 40\sqrt{3}$ 海里。 在Rt△PBC中，∠PBC=90°-45°=45°。 ∴ △PBC是等腰直角三角形，PC=BC。 BC = 40 海里。 AB = AC - BC = $40\sqrt{3} - 40 = 40(\sqrt{3}-1)$ 海里。 在Rt△PBC中，$PB = \sqrt{PC^2 + BC^2} = \sqrt{40^2 + 40^2} = \sqrt{2 \times 1600} = 40\sqrt{2}$ 海里。 答：此时海轮与灯塔P的距离为 $40\sqrt{2}$ 海里。

21. 解： (1) 每涨1元，月销售量减少10件，销售单价为x元，比50元涨了 $(x-50)$ 元。 月销售量 $y = 200 - 10(x-50) = 200 - 10x + 500 = 700 - 10x$。 函数关系式为：$y = -10x + 700$ (x≥50)。 (2) 每件商品的利润为 $(x - 40)$ 元。 月利润 $w = y \cdot (x - 40) = (-10x + 700)(x - 40)$。 $w = -10x^2 + 400x + 700x - 28000$ $w = -10x^2 + 1100x - 28000$。 函数关系式为：$w = -10x^2 + 1100x - 28000$ (x≥50)。 (3) 因为 $w = -10x^2 + 1100x - 28000$ 是一个开口向下的二次函数， 所以当 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{1100}{2 \times (-10)} = \frac{1100}{20} = 55$ 时，w有最大值。 将x=55代入利润函数： $w = -10(55)^2 + 1100(55) - 28000$ $w = -10 \times 3025 + 60500 - 28000$ $w = -30250 + 60500 - 28000$ $w = 2250$。 答：当销售单价定为55元时，月利润最大，最大利润是2250元。