八年级全等三角形习题

八年级数学《全等三角形》综合习题

基础知识填空与选择 (考察定义与判定)

填空题

(1) 全等三角形的边、角分别相等，其中对应边所对的角是__，对应角所对的边是__。 (2) 判定两个三角形全等的方法有：__、__、__、__、__。（注意：SSA和AAA不能作为判定依据） (3) 如图，△ABC ≌ △DEF，且 ∠A = 40°，∠E = 60°，则 ∠BCF 的度数为__。

(此处可配一个简单的图，两个全等三角形部分重叠，点C和F重合)

(4) 在△ABC和△DEF中，AB = DE，∠B = ∠E，__，△ABC ≌ △DEF。（填写一个合适的条件）

选择题

(1) 下列条件中，不能判断两个直角三角形全等的是 ( ) A. 两条直角边对应相等 B. 斜边和一条直角边对应相等 C. 两个锐角对应相等 D. 斜边和一个锐角对应相等

(2) 如图，点E在AB上，点D在BC上，下列条件中，不能判定△ABD ≌ ▢ACE的是 ( )

(此处可配一个图，AB=AC, AD=AE)

A. ∠B = ∠C B. AD = AE C. ∠ADB = ∠AEC D. BD = CE

(3) 如图，已知 AB = CD，AD = CB，则图中全等三角形的对数是 ( )

(此处可配一个图，四边形ABCD，连接AC)

A. 1 对 B. 2 对 C. 3 对 D. 4 对

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证明与计算题 (考察综合应用)

经典“边边边”与“边角边”模型 ** 如图，已知 AB = DC，AD = BC，求证：∠A = ∠C。

解析： 证明： 在△ABD和△CDB中， $\begin{cases} AB = DC & \text{(已知)} \ AD = BC & \text{(已知)} \ BD = DB & \text{(公共边)} \end{cases}$ 根据“边边边”（SSS）全等判定公理， △ABD ≌ ▢CDB。 ∠A = ∠C （全等三角形的对应角相等）。 证毕。

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角平分线与“角边角”模型 ** 如图，AD是△ABC的高，AD平分∠BAC，求证：△ABD ≌ ▢ACD。

解析： 证明： 因为 AD 是 △ABC 的高， ∠ADB = ∠ADC = 90° （垂直的定义）。 又因为 AD 平分 ∠BAC， ∠BAD = ∠CAD （角平分线的定义）。 在 △ABD 和 △ACD 中， $\begin{cases} \angle BAD = \angle CAD & \text{(已证)} \ AD = AD & \text{(公共边)} \ \angle ADB = \angle ADC & \text{(已证)} \end{cases}$ 根据“角边角”（ASA）全等判定公理， △ABD ≌ ▢ACD。 证毕。

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中线与“边角边”模型 ** 如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AD，交AD于点F，求证：BE = CF。

解析： 证明： 因为 AD 是 △ABC 的中线， BD = CD （中线的定义）。 因为 BE⊥AD，CF⊥AD， ∠AEB = ∠AFD = 90° （垂直的定义）。 在 △ABE 和 △ACF 中， $\begin{cases} \angle AEB = \angle AFC & \text{(都等于90°)} \ \angle BAE = \angle CAF & \text{(对顶角相等)} \ AB = AC & \text{(已知)} \end{cases}$ 根据“角角边”（AAS）全等判定公理， △ABE ≌ ▢ACF。 BE = CF （全等三角形的对应边相等）。 证毕。

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垂直平分线与“边边边”模型 ** 如图，在△ABC中，DE是BC边的垂直平分线，交BC于点D，交AC于点E，AB = 6，AC = 9，求△ABE的周长。

解析： 解： 因为 DE 是 BC 的垂直平分线， 点 B 和点 C DE 对称。 根据垂直平分线的性质，线段上的点到线段两个端点的距离相等。 BE = CE。 在△ABE中，其周长 = AB + BE + AE。 因为 BE = CE， 周长 = AB + CE + AE。 又因为 AE + CE = AC = 9， 周长 = AB + AC = 6 + 9 = 15。 答： △ABE的周长是15。

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综合探究题 ** 如图，在△ABC中，∠ABC = 45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，交CD于E，交AC于F，求证：CD = 2EF。

解析： 证明思路： 证明线段倍数关系，通常采用“截长补短”或“加倍折半”法，本题要证 CD = 2EF，可以尝试在 CD 上截取一段等于 EF，再证明剩下的一段也等于 EF；或者将 EF 加倍，证明其等于 CD，这里我们采用“加倍法”。

证明： (1) 在 CD 上截取 DG = EF，连接 BG。 因为 BE 平分 ∠ABC，且 CD⊥AB， ∠1 = ∠2，∠BEC = ∠BED = 90°。 在 △BDE 和 △BDG 中， $\begin{cases} \angle1 = \angle2 & \text{(角平分线)} \ BD = BD & \text{(公共边)} \ \angle BDE = \angle BDG = 90° & \text{(垂直)} \end{cases}$ 根据“角边角”（ASA）全等判定公理， △BDE ≌ ▢BDG。 DE = DG （全等三角形的对应边相等）。 又因为 DG = EF （作图）， DE = EF。

(2) 因为 ∠ABC = 45°，∠3 = 45°。 在 Rt△BDC 中，∠BCD = 90° - ∠3 = 90° - 45° = 45°。 ∠BCD = ∠3 = 45°。 △BCG 是等腰三角形，即 BG = CG。

(3) 在 △BGE 和 △CGF 中， $\begin{cases} \angle GEB = \angle GFC = 90° & \text{(垂直)} \ \angle GBE = \angle GCF & \text{(都等于45°)} \ BG = CG & \text{(已证)} \end{cases}$ 根据“角角边”（AAS）全等判定公理， △BGE ≌ ▢CGF。 GE = GF （全等三角形的对应边相等）。

(4) 由 (1) 知 DE = EF，由 (3) 知 GE = GF。 DE + GE = EF + GF，即 DF = EF。 又因为 CD = CE + ED = EF + DF = EF + EF = 2EF。 证毕。

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拓展与提高 (考察转化与构造)

** 如图，在△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC，D是BC边上的中点，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：EF = BE - CF。

解析： 证明思路： 要证明 EF = BE - CF，即证明 EF + CF = BE，观察图形，EF + CF ≈ EC，但需要证明，可以考虑将 △ADF 旋转到 △ABG 的位置,构造全等三角形。

证明： (1) 因为 DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAC = 90°， 四边形 AEDF 是矩形。 EF = AD （矩形的对角线相等），且 EF 与 AD 互相平分。 设 EF 与 AD 交于点 O，则 AO = OD。

(2) 因为 D 是 BC 的中点， AD = BD = CD （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。 EF = AD = BD。

(3) 将 △ADF 绕点 A 旋转 90°，使 AD 落在 AB 上，点 F 落在 AB 或其延长线上，设为点 G。 因为 ∠BAC = 90°，且 DF⊥AC，所以旋转后，点G在AB上，且 AG = AF。 又因为 ∠DAB = ∠DAC = 45°， ∠GAD = 90°。 因为 AO = OD，且 AG = AF， △AOG ≌ ▢AOD （SAS）。 ∠AGO = ∠ADO。 因为 AD = BD，且 OD = OA = 1/2 AD = 1/2 BD， OD = OB。 在 △BOD 和 △DOF 中， $\begin{cases} OD = OB & \text{(已证)} \ \angle BOD = \angle DOF & \text{(对顶角)} \ OD = OD & \text{(公共边)} \end{cases}$ 根据“边角边”（SAS）全等判定公理， △BOD ≌ ▢DOF。 BF = BD + DF。 (这个思路有点复杂,换一个更简洁的)

简洁证明： (1) 因为 D 是 Rt△ABC 斜边 BC 的中点， AD = BD = CD。 因为 DE⊥AB，DF⊥AC， 四边形 AEDF 是矩形。 EF = AD = BD。

(2) 在 △BDE 和 △ADF 中， $\begin{cases} \angle BDE = \angle ADF & \text{(都等于90° - ∠ADB)} \ BD = AD & \text{(已证)} \ \angle DBE = \angle DAF & \text{(都等于45°)} \end{cases}$ 根据“角边角”（ASA）全等判定公理， △BDE ≌ ▢ADF。 BE = AF。

(3) 因为 AEDF 是矩形， AF = DE。 又因为 EF = BD = CD， EF = BC - CD = BC - BD。 但是我们需要 EF = BE - CF。 因为 BE = AF，CF = DF (因为四边形AEDF是矩形，AF=DE, AE=DF，但这里需要更直接的) 我们换个角度： EF = BD = CD。 BE - CF = (AF) - CF。 因为 AF = AC - CF，BE - CF = AC - 2CF。 这看起来不对,让我们重新审视。

最简洁的证明： (1) 因为 D 是 Rt△ABC 斜边 BC 的中点，AD = BD = CD。 (2) 因为 DE⊥AB，DF⊥AC，∠BDE = ∠ADF = 90° - ∠ADB。 (3) 在 △BDE 和 △ADF 中， $\begin{cases} BD = AD & \text{(已证)} \ \angle BDE = \angle ADF & \text{(已证)} \ \angle DBE = \angle DAF = 45° & \text{(等腰直角三角形)} \end{cases}$ △BDE ≌ ▢ADF (AAS)。 BE = AF，DE = DF。

(4) 因为 AEDF 是矩形（三个直角），EF = AD = BD。 (5) 因为 AF = AC - CF，且 AF = BE， BE = AC - CF。 因为 AC = AB，且 AB = AE + BE， BE = (AE + BE) - CF。 整理得：AE = CF。

(6) 因为 AEDF 是矩形，AE = DF。 由 (5) 知 AE = CF，DF = CF。

(7) EF = BD。 而 BD = BE - DE。 因为 DE = DF = CF， EF = BE - CF。 证毕。

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总结与建议

1. 牢记判定方法： SSS, SAS, ASA, AAS, HL（仅限直角三角形）是核心,务必熟记并理解其条件。
2. 找准对应关系： 在证明全等时，一定要写清楚对应顶点，如“△ABC ≌ ▢DEF”，而不是“△ABC ≌ ▢FED”。
3. 掌握常见模型： 角平分线、中线、垂直平分线、高线等构造的全等三角形模型是解题的关键。
4. 学会转化思想： 当题目中给出的条件不足以直接证明全等时，常常需要利用等量代换（如等角、等线段）、等腰三角形性质、直角三角形性质等进行转化。
5. 多加练习： 几何证明需要通过大量练习来培养“几何直觉”和逻辑推理能力，遇到难题多思考、多总结,才能举一反三。