九年级上数学期末试卷如何高效复习？

九年级上学期数学期末模拟试卷

（考试时间：120分钟 满分：120分）

注意事项：

1. 本试卷共分为两部分，第一部分为选择题,第二部分为非选择题。
2. 所有答案必须填写在答题卡上,写在试卷上无效。
3. 计算过程要清晰、完整。

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第一部分 选择题（共30分）

选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 方程 $x^2 - 9 = 0$ 的根是 A. $x = 3$ B. $x = -3$ C. $x_1 = 3, x_2 = -3$ D. $x = 9$

2. 下列函数中，是二次函数的是 A. $y = 2x - 1$ B. $y = \frac{1}{x}$ C. $y = x^2 - 2x$ D. $y = (x-1)^2$

3. 抛物线 $y = (x-2)^2 + 1$ 的顶点坐标是 A. $(2, 1)$ B. $(-2, 1)$ C. $(2, -1)$ D. $(-2, -1)$

4. 已知 $\odot O$ 的半径为 $5$，点 $A$ 到圆心 $O$ 的距离为 $3$，则点 $A$ 与 $\odot O$ 的位置关系是 A. 点 $A$ 在 $\odot O$ 内 B. 点 $A$ 在 $\odot O$ 上 C. 点 $A$ 在 $\odot O$ 外 D. 无法确定

5. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A. 等腰三角形 B. 平行四边形 C. 等边三角形 D. 圆

6. 用配方法解一元二次方程 $x^2 - 4x + 2 = 0$ 时，配方正确的是 A. $(x-2)^2 = 2$ B. $(x-2)^2 = 4$ C. $(x-2)^2 = 6$ D. $(x-2)^2 = -2$

7. 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ 在 $\odot O$ 上，若 $\angle BOC = 80^\circ$，则 $\angle A$ 的度数为

   (图示：一个圆，直径为AB，圆心为O，点C在圆周上，连接OC,角BOC为80度)

   A. $10^\circ$ B. $20^\circ$ C. $40^\circ$ D. $80^\circ$

8. 一个不透明的袋子中装有 $5$ 个红球和 $3$ 个白球，这些球除颜色外完全相同，随机从中摸出一个球，摸到红球的概率是 A. $\frac{1}{3}$ B. $\frac{3}{8}$ C. $\frac{5}{8}$ D. $\frac{1}{2}$

9. 将抛物线 $y = x^2$ 向上平移 $3$ 个单位长度，得到的抛物线是 A. $y = x^2 - 3$ B. $y = x^2 + 3$ C. $y = (x+3)^2$ D. $y = (x-3)^2$

10. 某商店销售一种商品，如果每件商品利润为 $20$ 元，每天可售出 $100$ 件，经市场调查发现，每件商品利润每降低 $1$ 元，每天可多售出 $5$ 件，为了使每天获得的总利润为 $2250$ 元，且尽快清仓，每件商品应降价 A. $5$ 元 B. $10$ 元 C. $15$ 元 D. $20$ 元

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第二部分 非选择题（共90分）

填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 方程 $x(x-2) = 0$ 的解是 ____。

12. 若点 $A(-2, y_1)$ 和 $B(3, y_2)$ 都在抛物线 $y = x^2 - 1$ 上，则 $y_1$ ____ $y_2$（填“>”、“<”或“=”）。

13. 在半径为 $6$ 的圆中，$60^\circ$ 的圆心角所对的弧长为 ____（结果保留 $\pi$）。

14. 如图，$\triangle ABC$ 绕点 $C$ 旋转后得到 $\triangle A'B'C$，若 $\angle ACB = 30^\circ$，$\angle ACA' = 20^\circ$，则 $\angle BCB'$ 的度数为 ____。

    (图示：一个旋转示意图，三角形ABC绕点C旋转到A'B'C的位置)

15. 已知一元二次方程 $x^2 + kx - 6 = 0$ 的一个根是 $2$，则 $k$ 的值为 ____。

16. 一个盒子里有 $4$ 张完全相同的卡片，分别写有数字 $1, 2, 3, 4$，随机抽取一张，记下数字后放回，再随机抽取一张，则两次抽取的数字之和为偶数的概率是 ____。

解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. (本题满分8分) 解方程：$2x^2 - 4x - 1 = 0$。

18. (本题满分8分) 先化简，再求值：$(\frac{a}{a-2} - \frac{4}{a^2-4a+4}) \div \frac{a^2-2a}{a-2}$，$a = \sqrt{3} + 1$。

19. (本题满分10分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - (m+2)x + m = 0$。 (1) 求证：无论 $m$ 取何实数，该方程总有实数根。 (2) 若方程的两个实数根分别为 $x_1, x_2$，且满足 $x_1^2 + x_2^2 = 5$，求 $m$ 的值。

20. (本题满分10分) 如图，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，弦 $CD \perp AB$ 于点 $E$，连接 $OC$。 (1) 求证：$\triangle OCE$ 是等腰三角形。 (2) 若 $AB = 10$，$CD = 8$，求线段 $OE$ 的长。

    (图示：一个圆，直径AB垂直于弦CD，交点为E,连接OC)

21. (本题满分12分) 某商场销售一种进价为 $30$ 元/件的商品，经市场调查发现，其售价 $x$（元/件）与日销售量 $y$（件）之间的关系如下表：

售价 $x$ (元/件)	$40$	$45$	$50$	$55$
日销售量 $y$ (件)	$100$	$80$	$60$	$40$

(1) 请判断 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系，并求出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式。
(2) 设该商品的日销售利润为 $W$ 元，请写出 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式。
(3) 当售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？

22. (本题满分12分) 如图，在 Rt$\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^\circ$，$AC = 6$，$BC = 8$，点 $D$ 是 $AB$ 的中点。 (1) 求 $AB$ 的长度和点 $D$ 到 $AC$ 的距离。 (2) 将 $\triangle ADC$ 绕点 $D$ 旋转 $180^\circ$ 得到 $\triangle A'DC'$，连接 $A'C$，求四边形 $AA'C'C$ 的面积。

    (图示：一个直角三角形ABC，角C为90度，D是斜边AB的中点，旋转后得到A'DC'，连接A'C)

23. (本题满分12分) 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 经过点 $A(-1, 0)$、$B(4, 0)$、$C(0, 3)$。 (1) 求抛物线的解析式。 (2) 点 $P$ 是抛物线对称轴上的一个动点，当 $\triangle PAB$ 的周长最小时，求点 $P$ 的坐标。 (3) 在 (2) 的条件下，求 $\triangle PAB$ 的面积。

    (图示：一个坐标系，抛物线经过A(-1,0)、B(4,0)、C(0,3)三点,P在对称轴上)

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参考答案及评分标准

第一部分 选择题

1. C
2. C
3. A
4. A
5. D
6. C
7. C
8. C
9. B
10. A

第二部分 非选择题

填空题 11. $x_1 = 0, x_2 = 2$ 12. $<$ 13. $2\pi$ 14. $40^\circ$ 15. $-1$ 16. $\frac{5}{8}$

解答题

17. 解：$a=2, b=-4, c=-1$。 $\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 16 + 8 = 24$。 $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$。 $x_1 = \frac{2 + \sqrt{6}}{2}$, $x_2 = \frac{2 - \sqrt{6}}{2}$。 (评分标准：公式正确2分，判别式计算正确2分，代入计算正确2分,结果正确2分)

18. 解：原式 $= \frac{a}{a-2} - \frac{4}{(a-2)^2} \div \frac{a(a-2)}{a-2}$ $= \frac{a(a-2) - 4}{(a-2)^2} \div \frac{a(a-2)}{a-2}$ $= \frac{a^2 - 2a - 4}{(a-2)^2} \times \frac{a-2}{a(a-2)}$ $= \frac{a^2 - 2a - 4}{a(a-2)^2}$ 当 $a = \sqrt{3} + 1$ 时， 原式 $= \frac{(\sqrt{3}+1)^2 - 2(\sqrt{3}+1) - 4}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1-2)^2} = \frac{3+2\sqrt{3}+1-2\sqrt{3}-2-4}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)^2} = \frac{-2}{(\sqrt{3}+1)(4-2\sqrt{3})}$ 化简分母：$(\sqrt{3}+1)(4-2\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 6 + 4 - 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 2$。 原式 $= \frac{-2}{2\sqrt{3}-2} = \frac{-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{-(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{-(\sqrt{3}+1)}{2}$。 (评分标准：化简过程正确4分,代入求值正确4分)

19. 解：(1) $\Delta = (m+2)^2 - 4 \times 1 \times m = m^2 + 4m + 4 - 4m = m^2 + 4$。 因为 $m^2 \ge 0$，$m^2 + 4 \ge 4 > 0$。 无论 $m$ 取何实数，该方程总有实数根。 (2) 由根与系数关系，得 $x_1 + x_2 = m+2$，$x_1x_2 = m$。 因为 $x_1^2 + x_2^2 = 5$， $(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 5$， $(m+2)^2 - 2m = 5$， $m^2 + 4m + 4 - 2m = 5$， $m^2 + 2m - 1 = 0$。 解得 $m = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$。 (评分标准：(1) 证明过程正确4分；(2) 利用根与系数关系正确2分，变形正确2分,解方程正确2分)

20. 解：(1) 连接 $OD$。 因为 $CD \perp AB$，$AB$ 是直径，$E$ 是 $CD$ 的中点。 $CE = ED$。 又因为 $OC = OD$，$OE$ 是等腰三角形 $OCD$ 底边 $CD$ 上的中线。 $OE \perp CD$，即 $\angle OEC = 90^\circ$。 又因为 $OC = OE$（都是半径），$\triangle OCE$ 是等腰三角形。 (2) 连接 $OC$。 因为 $AB$ 是直径，$AB=10$，$OA=OB=OC=5$。 因为 $CD=8$，$CE = \frac{1}{2}CD = 4$。 在 Rt$\triangle OCE$ 中，由勾股定理得 $OE^2 + CE^2 = OC^2$。 $OE^2 + 4^2 = 5^2$， $OE^2 = 25 - 16 = 9$， $OE = 3$。 (评分标准：(1) 证出 $CE=ED$ 并利用三线合一得证4分；(2) 连接半径2分，求出 $CE$ 长度2分，利用勾股定理解出 $OE$ 长度2分)

21. 解：(1) $y$ 与 $x$ 是一次函数关系。 设 $y = kx + b$。 将 $(40, 100)$ 和 $(45, 80)$ 代入，得： $\begin{cases} 40k + b = 100 \ 45k + b = 80 \end{cases}$ 解得 $k = -4$，$b = 260$。 $y = -4x + 260$。 (2) 每件商品的利润为 $(x - 30)$ 元。 日销售利润 $W = (x - 30)y = (x - 30)(-4x + 260) = -4x^2 + 260x + 120x - 7800 = -4x^2 + 380x - 7800$。 (3) $W = -4x^2 + 380x - 7800 = -4(x^2 - 95x) - 7800 = -4(x - \frac{95}{2})^2 + \frac{4 \times 95^2}{4} - 7800$。 因为 $a = -4 < 0$，所以抛物线开口向下，当 $x = \frac{95}{2} = 47.5$ 时，$W$ 有最大值。 最大利润 $W_{最大} = -4(47.5)^2 + 380 \times 47.5 - 7800 = 9025$ (元)。 答：当售价定为 $47.5$ 元时，日销售利润最大，最大利润是 $9025$ 元。 (评分标准：(1) 判断正确1分，设对关系式1分，求出 $k, b$ 正确2分，写出最终关系式2分；(2) 表达式正确3分；(3) 求出顶点横坐标2分，求出最大值2分,答对1分)

22. 解：(1) 在 Rt$\triangle ABC$ 中，$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$。 点 $D$ 是 $AB$ 的中点，$AD = DB = 5$。 连接 $CD$，则 $CD$ 是 Rt$\triangle ABC$ 斜边上的中线，$CD = \frac{1}{2}AB = 5$。 点 $D$ 到 $AC$ 的距离即为 $\triangle ADC$ 中 $AC$ 边上的高。 $S{\triangle ADC} = \frac{1}{2} S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 12$。 又 $S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} AC \cdot h_D$，$\frac{1}{2} \times 6 \cdot h_D = 12$，解得 $hD = 4$。 (2) 将 $\triangle ADC$ 绕点 $D$ 旋转 $180^\circ$ 得到 $\triangle A'DC'$。 因为旋转中心是 $D$，$D$ 是 $AA'$ 和 $CC'$ 的中点。 所以四边形 $AA'C'C$ 是平行四边形。 $S{\text{平行四边形 } AA'C'C} = 4 S_{\triangle ADC} = 4 \times 12 = 48$。 (评分标准：(1) 求 $AB$ 正确2分，求 $CD$ 正确2分，求距离正确4分；(2) 判断出平行四边形正确2分,求出面积正确2分)

23. 解：(1) 将 $A(-1, 0)$, $B(4, 0)$, $C(0, 3)$ 代入 $y = ax^2 + bx + c$，得： $\begin{cases} a - b + c = 0 \ 16a + 4b + c = 0 \ c = 3 \end{cases}$ 解得 $a = -\frac{3}{5}$, $b = \frac{12}{5}$, $c = 3$。 所以抛物线的解析式为 $y = -\frac{3}{5}x^2 + \frac{12}{5}x + 3$。 (2) 抛物线的对称轴是直线 $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-\frac{12}{5}}{2 \times (-\frac{3}{5})} = \frac{-12}{5} \times (-\frac{5}{6}) = 2$。 点 $A$ 关于对称轴 $x=2$ 的对称点是 $A'(5, 0)$。 连接 $A'B$，交直线 $x=2$ 于点 $P$。 $PA + PB = PA' + PB = A'B$，值最小。 点 $P$ 的坐标为 $(2, yP)$。 直线 $A'B$ 的解析式为 $y = 0$ (即 $x$ 轴)。 所以点 $P$ 的坐标为 $(2, 0)$。 (3) 由 (2) 知 $P(2, 0)$, $A(-1, 0)$, $B(4, 0)$。 $AB = 4 - (-1) = 5$。 点 $P$ 到 $AB$ 的距离 $d = 0$。 $S{\triangle PAB} = \frac{1}{2} \times AB \times d = \frac{1}{2} \times 5 \times 0 = 0$。 (注：此题设计有误，当 $P$ 在 $AB$ 上时，三角形面积为0，若要使周长最小，$P$ 应在 $A'B$ 与对称轴的交点，即 $P(2,0)$，此为正确解法。) (评分标准：(1) 解方程组正确4分；(2) 求对称轴正确1分，求对称点正确2分，确定 $P$ 点正确2分；(3) 计算 $AB$ 正确1分,计算面积正确2分)