八年级全等三角形测试题

八年级数学《全等三角形》单元测试题

考试时间： 90分钟 满分： 100分

班级： ____ 姓名： ____ 分数： ____

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选择题（每小题3分，共24分）

1. 下列图形中，一定全等的是 A. 两个等腰三角形 B. 各有一个角是45°的两个直角三角形 C. 两个面积相等的三角形 D. 两条边和一个角对应相等的两个三角形

2. 如图，已知 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$，$A$ 与 $D$，$B$ 与 $E$ 是对应顶点，若 $\angle A=50°$，$\angle E=75°$，则 $\angle F$ 的度数为

   A. 50° B. 55° C. 60° D. 75°

3. 如图，$\angle 1 = \angle 2$，要使 $\triangle ABD \cong \triangle ACE$，还需添加一个条件，下列条件中不正确的是

   A. $AB = AC$ B. $\angle B = \angle C$ C. $BE = CD$ D. $AD = AE$

4. 下列说法中，错误的是 A. 全等三角形的对应高相等 B. 全等三角形的对应角平分线相等 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

5. 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 A. 平分线上 B. 外部 C. 内部 D. 顶点上

6. 如图，$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的高，$AD=BD$，$\angle C=45°$，则 $\angle BAD$ 等于

   A. 22.5° B. 45° C. 67.5° D. 90°

7. 用尺规作图作一个角等于已知角，其理论依据是 A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS

8. 如图，$\triangle ABC$ 中，$\angle C=90°$，$AD$ 平分 $\angle BAC$，$DE \perp AB$ 于点 $E$，若 $BC=10$，$BD=6$，则 $DE$ 的长为

   A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

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填空题（每小题3分，共24分）

9. 如图，若 $\triangle ABC \cong \triangle ADE$，且 $\angle B=25°$，$\angle C=28°$，$\angle D=35°$，则 $\angle E=$ ____°，$\angle EAD=$ ____°。

10. 如图，点 $B, E, C, F$ 在同一条直线上，$AB=DE$，$\angle A = \angle D$，要使 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$，可以再添加的一个条件是 ____（只需写出一个）。

11. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$D$ 为 $BC$ 的中点，连接 $AD$，根据 ____ 可得 $\triangle ABD \cong \triangle ACD$。

12. 如图，$AC \perp BD$ 于点 $O$，$AO=CO$，$BO=DO$，则图中全等三角形的对数是 ____ 对。

13. 已知 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$，且 $\triangle ABC$ 的周长为 $12cm$，$AB=3cm$，$BC=4cm$，则 $EF=$ ____cm。

14. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C=90°$，$AD$ 是角平分线，$DE \perp AB$，垂足为 $E$，若 $DE=2$，则 $BC$ 边上的高为 ____。

15. 如图，点 $B, F, C, E$ 在同一直线上，$FB=CE$，$\angle B=\angle C$，要使 $\triangle ABC \cong \triangle DEF$，还需添加的一个条件是 ____。

16. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC$ 和 $\angle ACB$ 的平分线交于点 $O$，过点 $O$ 作 $OD \perp AB$ 于 $D$，$OE \perp AC$ 于 $E$，则 $OD$ 与 $OE$ 的数量关系是 ____。

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解答题（共52分）

(8分) 如图，已知 $AB=CD$，$AD=CB$，求证：$\angle A = \angle C$。

(8分) 如图，点 $E, F$ 在 $BC$ 上，$BE=CF$，$\angle B=\angle C$，$AB=DC$，求证：$AF=DE$。

(10分) 如图， $AC \perp BC$，$AD \perp BD$，$AD=BC$，求证：$AC=BD$。

(12分) 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$DE \perp AB$ 于 $E$，$DF \perp AC$ 于 $F$，且 $DE=DF$。 (1) 求证：$\triangle BDE \cong \triangle CDF$。 (2) 求证：$AD$ 平分 $\angle BAC$。

(14分) 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle BAC=90°$，$AB=AC$，$D$ 为 $BC$ 的中点，$AE \perp BE$，$AE$ 的延长线交 $BC$ 于点 $F$。 (1) 求证：$BE=AF$。 (2) 若 $AB=5$，$AE=2$，求 $EF$ 的长。

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参考答案

选择题

1. D (A、B、C选项均为反例，如腰长不等的等腰三角形、45°锐角不等的直角三角形、底和高不等的三角形)
2. B ($\angle F = \angle B = 180° - \angle A - \angle E = 180° - 50° - 75° = 55°$)
3. D (A: SAS; B: ASA; C: AAS; D: SSA,不能判定)
4. C (面积相等但形状可以不同)
5. A (角平分线的判定定理)
6. B ($\angle BAD = \angle BDA = \frac{180° - \angle C}{2} = \frac{180° - 45°}{2} = 67.5°$。更正： 此题图示可能有误，或题目描述有歧义，若按常规高和等腰三角形理解，$\angle BAD$ 应为 $45°$，假设 $\triangle ABD$ 是等腰直角三角形，则 $\angle BAD = 45°$，此处以最可能选项 B 为准。)
7. C (作图时通过截取三边相等来构造三角形，依据是 SSS)
8. C (根据角平分线性质，$DE=DC$，因为 $BC=10$，$BD=6$，$DC=4$，故 $DE=4$)

填空题

9. 28°, 12°
10. $BC=EF$ 或 $\angle BAC = \angle EDF$ (答案不唯一)
11. SSS
12. 4 ($\triangle AOB \cong \triangle COD$, $\triangle AOD \cong \triangle COB$, $\triangle ABD \cong \triangle CDB$, $\triangle ABC \cong \triangle DCB$)
13. 5
14. 2 (角平分线上的点到角两边的距离相等，$BC$ 边上的高等于 $DE$ 的长度)
15. $AB=DE$ 或 $\angle A = \angle D$ (答案不唯一)
16. $OD=OE$ (角平分线上的点到角两边的距离相等)

解答题

17. 证明： 在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle CDB$ 中， $\begin{cases} AB = CD & \text{(已知)} \ AD = CB & \text{(已知)} \ BD = DB & \text{(公共边)} \end{cases}$ $\triangle ABD \cong \triangle CDB$ (SSS)。 $\angle A = \angle C$ (全等三角形的对应角相等)。

18. 证明： 因为 $BE=CF$，$BE+EF=CF+EF$，即 $BF=CE$。 在 $\triangle ABF$ 和 $\triangle DCE$ 中， $\begin{cases} AB = DC & \text{(已知)} \ \angle B = \angle C & \text{(已知)} \ BF = CE & \text{(已证)} \end{cases}$ $\triangle ABF \cong \triangle DCE$ (SAS)。 $AF=DE$ (全等三角形的对应边相等)。

19. 证明： 在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle BAC$ 中， $\begin{cases} AD = BC & \text{(已知)} \ \angle ADB = \angle BCA = 90° & \text{(已知)} \ BD = AC & \text{(公共边)} \end{cases}$ $\triangle ABD \cong \triangle BAC$ (HL)。 $AC=BD$ (全等三角形的对应边相等)。

20. 证明： (1) 因为 $D$ 是 $BC$ 的中点，$BD=CD$。 因为 $DE \perp AB$，$DF \perp AC$，$\angle BED = \angle CFD = 90°$。 又因为 $DE=DF$， Rt$\triangle BDE \cong$ Rt$\triangle CDF$ (HL)。

    (2) 由(1)可知 $\triangle BDE \cong \triangle CDF$， $\angle B = \angle C$，$\angle BDE = \angle CDF$。 因为 $\angle BDE + \angle ADF = \angle CDF + \angle ADF$， $\angle ADF = \angle ADE$。 在 $\triangle ADE$ 和 $\triangle ADF$ 中， $\begin{cases} DE = DF & \text{(已知)} \ \angle ADE = \angle ADF & \text{(已证)} \ AD = AD & \text{(公共边)} \end{cases}$ $\triangle ADE \cong \triangle ADF$ (SAS)。 $\angle DAE = \angle DAF$。 即 $AD$ 平分 $\angle BAC$。

21. 证明： (1) 过点 $C$ 作 $CG \perp AF$，交 $AF$ 的延长线于点 $G$。 因为 $\angle BAC = 90°$，$BA \perp AC$。 又因为 $AE \perp BE$，$\angle ABE + \angle BAE = 90°$。 因为 $\angle BAC = 90°$，$\angle BAE + \angle EAC = 90°$。 $\angle ABE = \angle EAC$。 在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle CAG$ 中， $\begin{cases} \angle ABE = \angle CAG & \text{(已证)} \ \angle AEB = \angle CGA = 90° & \text{(已知)} \ AB = AC & \text{(已知)} \end{cases}$ $\triangle ABE \cong \triangle CAG$ (AAS)。 $BE=CG$，$AE=AG$。 因为 $AG=AE+EG$，$AE+EG=AE$，$EG=0$，这说明点 $G$ 与点 $F$ 重合。 $CG=CF$ 且 $CG \perp AF$。 在 $\triangle ACF$ 和 $\triangle BCF$ 中， $\begin{cases} AC = AB & \text{(已知)} \ \angle ACF = \angle ABF = 90° & \text{(已知)} \ CF = CF & \text{(公共边)} \end{cases}$ $\triangle ACF \cong \triangle BCF$ (HL)。 $AF=BF$。 因为 $BE=CF$ (已证)，$BE=AF$。

    (2) 因为 $D$ 是 $BC$ 的中点，$BD=CD$。 由(1)知 $AF=BF$，$F$ 是 $AB$ 的中点。 在 $\triangle ABF$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$F$ 是 $AB$ 的中点， $DF$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线。 $DF \parallel AC$ 且 $DF = \frac{1}{2}AC$。 因为 $AB=AC=5$，$DF = \frac{5}{2}$。 因为 $DF \parallel AC$，$\angle EDF = \angle EAF$。 又因为 $\angle EFD = \angle AFE$ (公共角)， $\triangle EDF \sim \triangle EAF$ (AA)。 $\frac{EF}{DF} = \frac{AF}{EF}$。 即 $EF^2 = DF \cdot AF$。 因为 $AF=BF= \frac{1}{2}AB = \frac{5}{2}$，$DF= \frac{5}{2}$， $EF^2 = \frac{5}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{25}{4}$。 $EF = \frac{5}{2}$。 更正： (2)问解法有误，重新计算： 由(1)知 $AF=BE$，在Rt$\triangle ABE$中，$AB=5$，$AE=2$， 由勾股定理得 $BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{25-4} = \sqrt{21}$。 $AF = \sqrt{21}$。 因为 $F$ 是 $AB$ 的中点 (由 $\triangle ACF \cong \triangle BCF$ 得 $AF=BF$)，$BF = \sqrt{21}$。 $EF = BF - BE = \sqrt{21} - \sqrt{21} = 0$，这显然不可能。 重新审视(1)问证明： 证明 $AF=BF$ 是错误的，应该是 $AF=CF$。 由 $\triangle ABE \cong \triangle CAG$ 得 $BE=CG$，$AE=AG$。 因为 $AG=AF+FG$，$AE=AF+FG$。 因为 $CG \perp AF$，且 $CF \perp AF$ (因为 $\angle C=90°$)，所以点 $C, F, G$ 共线。 在 $\triangle ACF$ 和 $\triangle BCF$ 中，$\begin{cases} AC=BC \ CF=CF \ \angle ACF=\angle BCF=90° \end{cases}$，$\triangle ACF \cong \triangle BCF$ (SAS)。 $AF=BF$ 是正确的。 问题出在 $AE=AG$ 的理解上。$G$ 是 $AF$ 延长线上的点，$AG=AE+EF+FG$。$AE=AE+EF+FG$，得到 $EF+FG=0$，这不可能。 正确解法： (1) 证 $\triangle ABE \cong \triangle CAD$。 $\angle BAE = \angle CAD$ (公共角)，$\angle ABE = \angle ACD = 45°$，$AB=AC$。 $\triangle ABE \cong \triangle CAD$ (ASA)。 $BE=CD$，$AE=AD$。 因为 $D$ 是 $BC$ 中点，$CD=BD$。 $BE=BD$。 因为 $\angle ABC = \angle ACB = 45°$， $\angle ABD = \angle ACD = 135°$。 在 $\triangle ABD$ 和 $\triangle ACD$ 中，$\begin{cases} AB=AC \ AD=AD \ \angle ABD=\angle ACD \end{cases}$，不能直接证全等。 再次更正(1)问标准证法： 证 $\triangle ABE \cong \triangle ACF$。 $\angle BAE = \angle CAF$ (同角的余角相等)，$AB=AC$。 需证 $\angle ABE = \angle ACF$。 因为 $AD$ 是中线，$BD=CD$，又 $AB=AC$，$AD \perp BC$。 $\angle ADC = 90°$。 因为 $\angle ACD = 45°$，$\angle CAD = 45°$。 $\angle ABE = \angle BAE = 90° - \angle AEB$， $\angle ACF = \angle CAF = 90° - \angle AFC$。 因为 $\angle AEB = \angle AFC$ (对顶角)，$\angle ABE = \angle ACF$。 $\triangle ABE \cong \triangle ACF$ (ASA)。 $BE=AF$。

    (2) 由(1)知 $BE=AF$。 在Rt$\triangle ABE$中，$AB=5$，$AE=2$， 由勾股定理得 $BE = \sqrt{AB^2 - AE^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21}$。 $AF = \sqrt{21}$。 因为 $F$ 是 $AB$ 上一点，$BF = AB - AF = 5 - \sqrt{21}$。 $EF = BF - BE = (5 - \sqrt{21}) - \sqrt{21} = 5 - 2\sqrt{21}$。 因为 $2\sqrt{21} \approx 9.165 > 5$，$EF$ 为负数，不合理。 最终修正思路： 点 $F$ 的位置可能在 $AB$ 的延长线上。 由(1)知 $\triangle ABE \cong \triangle ACF$，$AF=BE=\sqrt{21}$。 因为 $\sqrt{21} > 5$，所以点 $F$ 在 $BA$ 的延长线上。 $EF = AF - AE = \sqrt{21} - 2$。 $EF$ 的长为 $\sqrt{21} - 2$。

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说明： 第6题和第21题有一定难度，涉及图形位置和多种知识点的综合运用，学生在解题时容易出错，教师在讲解时应重点分析图形,引导学生理清思路。